§ 210. Понятие о квантовой (волновой) механике

Изучение строения атома привело к выводу, что поведение электронов в атоме, так же как поведение фотонов, противоречит привычным законам классической физики, т. е. законам, установленным в опытах с телами макроскопических размеров. Существование дискретных уровней энергии электронной оболочки атома, закономерности переходов между уровнями и заполнения этих энергетических состояний невозможно было объяснить, пользуясь обычными представлениями механики и законами электромагнетизма.

Важный шаг в разъяснении этих противоречий был сделан в 1923 г. французским физиком Луи де Бройлем (р. 1892). Он выдвинул и обосновал предположение о том, что не только фотоны, но и любые частицы обладают волновыми свойствами, которые не учитываются классическими законами, но играют существенную роль в атомных явлениях.

Кванты электромагнитного излучения — фотоны, как мы видели выше, характеризуются импульсом . Вместе с тем световая волна с частотой  имеет длину . Исключая из этих выражений частоту, получаем связь между длиной волны и импульсом фотона

                                     (210.1)

Если в самом деле, в рамках представления о корпускулярно-волновом дуализме, свойства фотонов и других частиц подобны друг другу, то это соотношение должно быть применимо теперь к любым частицам. Таким образом, была получена формула для длины волны де Бройля, т. е. для длины волны, которую следует сопоставить частице с импульсом , чтобы описать ее волновые свойства. Эта формула также имеет вид (210.1). Если скорость частицы с массой покоя  мала по сравнению со скоростью .света, то формула для длины волны де Бройля примет вид

                                   (210.2)

Для проверки справедливости гипотезы де Бройля были произведены опыты по рассеянию электронов на кристаллах.

В свое время рассеяние рентгеновского излучения па кристаллах было использовано для доказательства их волновой природы (см. § 154). Благодаря интерференции вторичных волн, испускаемых правильно расположенными атомами кристалла, рассеяние происходит не в любых направлениях, а только под некоторыми определенными углами к падающему пучку. На фотопленке, расположенной позади рассеивающего кристалла (рис. 373), помимо центрального пятна от прямого пучка, получается система пятен от рассеянного (дифрагированного) излучения. Пример такого снимка приведен на рис. 374, а.

Рис. 373. Схема опыта по наблюдению дифракции рентгеновского излучения на кристаллах: 1 - рентгеновская трубка. 2 — свинцовая диафрагма, вырезающая узкий пучок рентгеновского излучения 3), 4 — поликристалический образец, 5 — фотопленка (в черной бумаге), б и 7 — пучки рассеянного кристаллом рентгеновского излучения

Рис. 374. Фотоснимки дифракции рентгеновского излучения  и электронов  на поликристаллическом золоте

Оказалось, что если кристалл вместо рентгеновского излучения облучать электронами, то рассеянные электроны также образуют на пленке систему колец, аналогичную кольцам от рассеянного рентгеновского излучения (рис. 374, б). Отсюда следовал удивительный вывод: электроны способны к интерференции, т. е. они обладают волновыми свойствами.

В дальнейшем дифракционные явления наблюдались и с другими частицами — с атомами, молекулами, нейтронами. Эти опыты неопровержимо доказали, что мельчайшие частицы вещества в некоторых явлениях ведут себя, как волны. Опыты позволили также определить длину волны, которая должна быть связана с данной частицей, чтобы объяснить ее дифракцию. Было найдено полное согласие с формулой де Бройля (210.2): длина волны оказалась обратно пропорциональной произведению массы  частицы на ее скорость , а коэффициент пропорциональности — равным постоянной Планка .

Постоянная Планка очень мала: ; ввиду этого длина волны де Бройля для частиц сколько-нибудь заметной массы совершенно ничтожна. Согласно формуле де Бройля пылинке массы один микрограмм , летящей со скоростью , соответствует длина волны . Эта величина исчезающе мала по сравнению даже с размерами атомных ядер.

Иначе обстоит дело с электронами или атомами, массы которых несравненно меньше микрограмма. При не слишком большой скорости им соответствует длина волны того же порядка, что и длины волн рентгеновского излучения. Так, для атома гелия с энергией  (энергия теплового движения при комнатной температуре) ; для электрона с энергией .

Из оптики мы знаем, что волновой характер света проявляется весьма отчетливо в тех случаях, когда длины волн сравнимы с размерами тел, с которыми свет взаимодействует. Так, при прохождении света через отверстие размером в несколько длин волн или при отражении от дифракционной решетки с малым расстоянием между штрихами и т. д. нельзя не учитывать волновых свойств света. Напротив, при прохождении света через окно квартиры или при отражении от зеркала с редкими царапинами дифракционные явления можно не принимать во внимание; они практически незаметны. Точно так же волновые свойства частиц имеют значение только тогда, когда длина волны де Бройля не мала по сравнению с размерами объектов, с которыми происходит взаимодействие. В процессах взаимодействия атомов с электронами и другими мельчайшими частицами, для которых длина волны де Бройля порядка атомных размеров, волновые свойства частиц играют существенную и даже определяющую роль. Тем более это относится к процессам, связанным с поведением электронов внутри атомов или молекул.

При взаимодействии частиц макроскопических размеров, для которых, как мы видели, длина волны де Бройля в миллиарды раз меньше их размеров, учет волновых свойств совершенно излишен. Вот почему классическая механика, которая была выведена из наблюдений над большими телами и в которой о волновых свойствах тел даже и не подозревали, прекрасно удовлетворяет задачам, возникающим при исследовании движения небесных светил, частей механизмов и т. д. Но именно поэтому классическая механика совершенно непригодна для трактовки атомных явлений. Для решения задач этого типа нельзя уже ограничиться механикой Ньютона, и необходимо разработать более совершенную механику, которая учитывала бы волновые свойства вещества.

Эта важная задача была решена к исходу 20-х годов. Основные заслуги в ее решении принадлежат немецкому физику Вернеру Гейзенбергу (1901—1976), австрийскому физику Эрвину Шредингеру (1887—1961) и английскому физику Полю Дираку (1902—1984).

Совокупность законов движения частиц вещества, учитывающая их волновые свойства, получила название волновой или квантовой механики. Квантовая механика решила обширный круг вопросов, связанных с поведением частиц атомного мира. Сюда относятся поведение электронов в атомах и молекулах и взаимодействие атомов друг с другом: излучение и поглощение света, соударения электронов и других частиц с атомами, ферромагнетизм и другие явления. Квантовая механика предсказала также ряд новых явлений; все предсказания неизменно оправдывались на опыте. Успех квантовой механики в объяснении атомных явлений доказывает, что она правильно отражает объективные закономерности природы.

Остановимся на некоторых вопросах, связанных с квантовым характером явлении в атомах, более подробно и покажем, как с помощью волновых представлений могут быть получены формулы для энергетических уровней атомов.

Электрическое поле ядра удерживает электрон атома в некоторой области пространства вблизи ядра. Рассматривая электрон как волну, мы не можем говорить о четко ограниченном объеме, в котором эта волна сосредоточена, подобно тому как при колебаниях воздуха в открытой трубе (рис. 107) нельзя указать резкую границу, за которой колебаний нет. Будем понимать под размером атома размер основной области сосредоточения электронной волны.

Последовательные волновые представления о поведении электрона в атоме могут быть получены с помощью законов квантовой механики. Такие квантовомеханическне расчеты позволяют, в частности, найти определенные состояния, в которых может находиться атом, и определить дискретные уровни энергии этих состояний. Однако законы квантовой механики выражаются в довольно сложной математической форме, и мы не можем на них останавливаться.

Некоторые следствия этих законов можно, впрочем довольно просто, установить, опираясь на понятие волны де Бройля. Для примера рассмотрим атом водорода.

Вспомним, что в планетарной модели атома (§ 206) говорилось о движении электрона вокруг ядра по некоторым разрешенным орбитам. И хотя в квантовой механике, в которой электрон описывается как некоторая волна, нельзя говорить о движении по орбите, мы все же воспользуемся представлением об «орбите» электрона и используем свойства волн де Бройля, связанных с электроном, для того чтобы указать, как не «орбиты» являются разрешенными. Такой подход хотя и не является последовательным и строгим, но обладает большой наглядностью и позволяет получить результаты, очень близкие к точным квантовомеханическим расчетам.

Итак, рассмотрим движение электрона в атоме водорода по Кругловой орбите радиуса . Потребуем, чтобы разрешенными были только такие орбиты, на которых укладывается целое число длин волн де Бройля, т.е. орбиты, для которых выполняется условие

.                                          (210.3)

При выполнении условия (210.3), называемого условием квантования орбиты, любой произвольной точке на орбите соответствует определенная фаза колебания, связанного с волной.

В самом деле, задавая на орбите какую-либо точку, мы видим, что волна после полного Оборота по орбите приходит в эту точку с той же самой фазой.

Таким образом, выполнение условия квантования делает волновую картину определенной и однозначной. Если же это условие не выполняется, то после полного оборота волна придет в исходную точку уже с другой фазой, затем опять с новой фазой и т. д. То есть в этом случае никакой однозначной волновой картины нет. Таким образом, волновое движение электронов в ограниченном пространстве сводится, как и в других волновых явлениях, к образованию «стоячих волн» (см. §§ 47— 50, 56, 59).

Эти стоячие волны удовлетворяют «граничному условию» (210.2), которое связывает кинетическую энергию электрона  с размерами атома. Действительно, воспользовавшись формулой де Бройля , получаем

                              (210.4)

Потенциальная энергия электрона на орбите (см. (206.1)). Полная энергия атома, т.е. сумма кинетической и потенциальной энергии электрона

Это выражение удобно переписать в виде

                        (210.5)

График зависимости  от  приведен на рис. 375. При уменьшении размера атома его анергия уменьшается, проходит через минимум, а затем возрастает. Атом будет находиться в устойчивом состоянии, когда его размер соответствует минимуму энергии. В самом деле, в этом случае любое изменение размера атома требует затраты энергии и самопроизвольно происходить не может.

Рис. 375. Изменение энергии атома при изменении его размера. Приведены графики функции (210.5) при значении параметра  и . По оси ординат отложена энергия в единицах , по оси абсцисс – радиус атома в единицах . В этих единицах формула (210.5) принимает вид . Штриховыми линиями показаны минимумы энергии, отвечающие основному  и первому возбужденному  уровням атома водорода

Энергия  проходит через минимум при значениях , обращающих в нуль, положительно определенный член — квадрат скобки в выражении (210.5). Таким образом, энергия устойчивых состояний атома равна

,                              (210.6)

где  — электрическая постоянная, равная ,  — масса электрона,  — главное квантовое число, которое указывает номер энергетического уровня. Значению  соответствует минимальная энергия атома.

Отметим, что строгое квантовомеханическое решение задачи об энергетических уровнях атома водорода приводит к результату, совпадающему с выражением (210.6).

Совокупность энергетических уровней атома водорода, определяемая формулой (210.6), в точности совпадает с приведенной на рис. 360 (за начало отсчета энергии на рис. 360 принято основное состояние атома , т. е. к выражению (210.6) прибавлена константа ).

Точное решение указывает также, что вполне устойчивым является лишь основное состояние атома;. отвечающее самому нижнему энергетическому уровня . Остальные состояния  оказываются не вполне устойчивыми — со временем они переходят в более низкие состояния, излучая избыток энергии в виде светового кванта.

Теперь мы можем понять причину устойчивости атома, т.е. невозможности падения электрона на ядро. Этому препятствует быстрое возрастание кинетической энергии электрона, сопровождающее уменьшение его длины волны де Бройля при сокращении размеров атома (см. (210.4)).

Отметим еще раз, что квантовая механика не находится в противоречии с классической механикой Ньютона. Все выводы ньютоновой механики заключены в квантовой механике и могут быть получены из этой последней как приближенные решения, вполне пригодные для тех случаев, когда волновые свойства частиц не играют существенной роли. Аналогичным образом обстоит дело и с теорией относительности (см. § 199, 200) — она переходит в механику Ньютона, когда скорости частиц малы по сравнению со скоростью света. В атомной физике часто приходится сталкиваться с явлениями, в которых и волновые свойства существенны, и скорости частиц велики. В этих случаях необходимо принимать во внимание как квантовую теорию, так и теорию относительности — пользоваться так называемой релятивистской квантовой механикой.

Следует указать, что современная физика столкнулась уже с задачами, полного решения которых не в состоянии дать и релятивистская квантовая механика. Сюда относятся вопросы о некоторых свойствах атомных ядер и о взаимодействии и свойствах частиц, их составляющих. Для такого рода вопросов требуется дальнейшее усовершенствование квантовой механики, которое в настоящее время еще не проведено.

1. Пройдя разность потенциалов , частица приобрела энергию . Каков заряд частицы?

2. Найдите скорость атома гелия, кинетическая энергия которого равна .

3. Найдите энергию (в электронвольтах), выделяющуюся при образовании одной молекулы  из углерода и кислорода, если теплота образования  равна .

4. Ион описывает в магнитном поле окружность радиуса . Какой радиус траектории будет иметь, в том же поле вчетверо более тяжелый ион, обладающий тем же зарядом и а) той; же скоростью; б) той же энергией?

5. Радиус траектории иона  (, где  — элементарный заряд, а ) равен . Найдите радиус траектории в том же магнитном поле частицы с вдвое большим отношением заряда к массе, ускоренной той же разностью потенуиалов. Рассмотрите случаи:

а)  (ион )

и

б)  (ион ).

6. Вычислите радиус траектории однократно заряженного иона с массой  в магнитном поле , если ион был ускорен разностью потенциалов .

7. Две одинаковые частицы, но одна быстрая, а другая медленная, движутся по окружности в одном и том же магнитном поле. Которая из частиц совершает обороты быстрее?

8. Напишите выражение для времени одного оборота заряженной частицы в магнитном поле. Вычислите время обороты частицы с зарядом  и массой  в магнитном поле

9. Во сколько раз масса движущая электрон и атома водорода больше соответствующей массы покоя, если кинетическая энергия равна 1 кэВ, 1 МэВ, 1 ГэВ.

10. Снаряды массой  движется со скоростью . Найдите дополнительную массу снаряда, обусловленную движением.

11. Покажите, что для малых скоростей  из релятивистской формулы для кинетической энергии (199.2) следует классическое выражение .

Указание.

12. Используя формулу (199.2) зависимости массы от скорости, найти отношение массы движущегося тела к массе покоя для скоростей движения .

13. Насколько увеличится масса  гелия в результате нагревания  (теплоемкость  газообразного гелия при постоянном объеме равна )?

14. Найдите расстояние между центрами щелей приемников в массе-спектрографе (по схеме рис.354), служащем для разделения изотопов урана  и , если радиус траектории ионов  равен .

15. Ток пучка ионов урана  в масс-спектрографе равен . Какое количество  выделится на приемнике за сутки?

16. Свечение атомарного водорода возбуждают электронами с энергией . Кванты какой энергии будут испускаться? Используйте схему энергетических уровней водорода (рис. 360).

17. Используя схему рис.360, найдите длины волн линий в спектре поглощения атомарного водорода.

18. Вычислите электростатическую (кулоновскую) и гравитационную силы взаимодействия электрона с ядром в атоме водорода. Радиус атома примите равным . Гравитационная постоянная равна .

19. Пользуясь законами сохранения энергии и импульса для упругого комптоновского рассеяния фотонов на электронах (209.5), получите выражение для изменения длины волны фотона (209.4).

20. Вычислите длину волны светового кванта с энергией  и длину волны де Бройля электрона и протона такой же энергии.

21. Объясните, почему при рассеянии на кристаллах медленных нейтронов (энергия ) наблюдаются резкие дифракционные явления (рассеяние происходит только в некоторых направлениях), в то время как при рассеянии более быстрых нейтронов (энергия ) эти явления незаметны.