§ 50. Стоячие волны в пластинках и других протяженных телах
Стоячие волны могут получаться в телах любой формы, а не
только в таких сильно удлиненных телах, струна или шнур. Неподвижные места
стоячей волны — ее узлы — представляют собой поверхности, рассекающие объем
тела на участки, в середине которых наиболее сильны колебания (пучности).
Строго говоря, мы и в случае струны или шнура имеем тоже узловые поверхности —
неподвижные поперечные сечения. Но так как протяженность этих сечений очень
невелика по сравнению с длиной струны или шнура, то мы говорим об узловых
точках, рассматривая сами тела как геометрические линии.
Если тело приближается по своей форме к геометрической
поверхности, т. е. представляет собой пластинку (плоскую или изогнутую) или
оболочку, то в нем узловые поверхности можно считать узловыми линиями. На рис.
101 показано, как колеблется стакан, если ударить его по краю. Узловые линии
нарисованы жирно, а штриховыми линиями показано (в преувеличенном виде), как
изгибаются стенки стакана при этом — основном — колебании. Так же колеблется и
колокол.
Рис. 101. Колебания стакана (основное
колебание)
Наглядный и красивый способ наблюдения стоячих волн в
пластинках придумал в 1787 г. немецкий физик Эрнст Хладни (1756—1827). На
пластинку из стекла, металла или дерева, закрепленную в какой-либо одной точке,
насыпается песок. Стоячие волны в пластинке возбуждаются тем, что где-либо по
ее краю проводят натертым канифолью смычком (рис. 102). Песок сбрасывается с
пучностей и собирается на узловых линиях, образуя так называемые фигуры Хладни.
Эти фигуры дают, таким образом, картину узловых линий, рассекающих поверхность
пластинки при ее колебаниях. Вид фигур зависит от формы пластинки и положения
закрепленной точки, а также от того, в каком месте проводить смычком и где
придерживать при этом пластинку пальцами. На рис. 103 показано несколько
примеров фигур Хладни в квадратной пластинке.
Рис. 102. Получение фигур Хладни
Рис. 103. Примеры фигур Хладни. Знаком плюс
отмечены те пучности, где пластинка выгнута в данный момент кверху, а знаком
минус — книзу. Через четверть периода пластинка сделается плоской, а еще через
четверть периода плюсы прогнутся вниз, а минусы – вверх.
Пример стоячих волн в объеме тела дают нам колебания
воздуха внутри какой-либо твердой (не обязательно целиком замкнутой) оболочки.
Возьмем прямоугольный деревянный ящик, у которого нет стенки 
(рис. 104). Если
воздух колеблется вдоль ребра 
, то при основном колебании (наинизшая
частота, наибольшая длина волны) мы получаем узловую плоскость на стенке 
и пучность в
отверстии .
На длине ящика укладывается,
таким образом, четверть волны (рис. 105, а). В первом обертоне мы имеем две
узловые плоскости: одна по-прежнему на стенке , где, очевидно, узел должен
получаться во всех случаях, а другая — на расстоянии пол волны от этой стенки и
четверти волны от открытого конца, в котором опять мы имеем пучность. Вдоль
ребра теперь
укладывается 3/4 волны (рис. 105, б), т. е. волна втрое короче, а частота втрое
выше основной. Частота второго обертона будет в пять раз выше основной (рис.
105, в), и т. д.
Рис. 104. Ящик без одной стенки
Рис. 105. Стоячие волны в ящике, изображенном
на рис. 104: а) основное колебание; б) первый обертон; в) второй обертон
Если закрыть отверстие ящика, то при любых собственных
колебаниях, направленных вдоль ребра , узловая плоскость должна будет
получаться как на , так и на . На рис. 106 показаны
основное колебание и два первых обертона в этом случае.
Рис. 106. Стоячие волны в закрытом ящике: а)
основное колебание; б) первый обертон; в) второй обертон
Такого же характера стоячие волны получаются в трубах
разных сечений. На рис. 107 показаны основное колебание и два первых обертона в
круглой трубе, открытой с обоих концов. В этом случае у обоих концов получаются
пучности колебаний.
Рис. 107. Стоячие волны в трубе, открытой с
обоих сторон: а) основное колебание; б) первый обертон; в) второй обертон
Колебания воздушных столбов в трубах используются в
духовых музыкальных инструментах (орган, флейта и т. д.).
