5.1. Характеристики цифровых сетей

При анализе цифровых систем связи наиболее важными характеристиками являются средний объем использования буфера и среднее время пребывания пакета в системе. Конкретизируем данные понятия. Для этого рассмотрим цифровую систему, состоящую из буфера способного хранить очередь бесконечной длины, и сервера обрабатывающего поступающую на его вход информацию (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Схема односерверной цифровой системы

Входную нагрузку, т.е. число пакетов поступивших на вход такой системы за время , обозначим через , а число обслуженных пакетов через . Тогда общий объем данных, находящихся в системе в момент времени  равен

.

Очевидно, что общее время, проведенное всеми заявками в системе за время , можно вычислить как площадь под графиком функции :

.

Анализ данного выражения показывает, что если функцию  разделить на время интегрирования , то получим среднее число пакетов, находящихся в системе:

.

Если же функцию  разделить на общее число поступивших пакетов за время , то можно получить среднее время нахождения пакета в системе:

.

Из последних двух выражений следует, что

,

где  - интенсивность входного потока. Если в системе связи имеет место стационарный режим работы, то полученное выражение оказывается не зависимым от времени  и может быть записано в виде

.

Данная формула описывает взаимосвязь между двумя важнейшими характеристиками цифровых систем, которая означает, что среднее число пакетов в системе пропорционально средней интенсивности входного потока и среднему времени пребывания пакета в системе. Данное выражение играет большую роль при анализе цифровых систем связи. При этом оно остается справедливым при любых распределениях входного потока и времени обслуживания. Впервые доказательство этого факта дал Дж. Литтл, поэтому данное соотношение называется формулой Литтла.

Интересным является также тот факт, что если в цифровой системе рассматривать только буфер данных, то вид формулы Литтла сохраняется, меняется только смысл переменных:  - средняя длина очереди;  - среднее время пребывания пакета в очереди:

.

И наоборот, если рассматривать только сервер, то формула Литтла принимает следующий вид:

,

где  - среднее число пакетов на сервере (или серверах);  - среднее время обработки на сервере одного пакета. Причем общее среднее время нахождения пакета в системе равно

.