5.5. Анализ цифровых сетей с произвольным распределением времени обслуживания

В рассмотренных выше случаях полагалось, что время обслуживания описывается экспоненциальным законом с параметром . Однако в реальных цифровых сетях такое предположение не всегда является верным. В общем случае время обслуживания может описываться любым распределением с ПРВ . По своему физическому смыслу она должна удовлетворять выражению

.

Среднее время обработки одного пакета на сервере можно найти как математическое ожидание

.

Рассмотрим цифровую сеть с бесконечным объемом буфера и одним сервером (рис. 5.1). При простейшем входном потоке с параметром  величину нагрузки можно определить по формуле

.

Заметим, что, в среднем, каждый поступивший пакет данных будет находиться в буфере, пока обслуживаются все ранее пришедшие пакеты в буфере и закончится обработка текущего пакета на сервере, т.е.

,                                      (5.3)

где  - среднее число пакетов в буфере;  - среднее остаточное время обработки пакета на сервере при поступлении очередного вызова. В соответствии с формулой Литтла, величина , а среднее остаточное время определяется по формуле [2]

,

где  - второй момент. Подставляя данные выражения для  и  в формулу (5.3), получим выражение для среднего времени пребывания пакета в очереди:

,                  (5.4)

Формула (5.4) получила название Полячека-Хинчина (Pollaczek-Khinchin) или сокращенно РК-формула. Зная величины ,  и  можно найти среднее время пребывания пакета в системе:

,

а используя формулу Литтла определить среднее число пакетов в системе:

.

Полученные выражения позволяют провести анализ систем с постоянным временем обслуживания. Например, при анализе коммутаторов пакетов следует учитывать у каждого наличие заголовка фиксированной длины, что требует учета во времени обслуживания некоторой фиксированной добавки, даже если длины поступающих пакетов описываются экспоненциальным распределением. Очевидно, что при постоянном времени обслуживании величина  и характеристики системы определяются выражениями

,

.