7.4. Определение средней задержки при передаче сообщений в сетях связи с пакетной коммутацией
Рассмотрим
простую сеть связи, в которой имеется несколько УК соединенные между собой
дуплексными соединительными линиями с пропускной способностью
байт/сек. между
и
узлами (рис. 7.8). Если
линия связи между узлами
и
отсутствует, то
.
Каждый
УК имеет буфер неограниченной емкости. Среднюю длину пакета положим равной
байт. Также для
простоты будем полагать, что поток данных, возникающий в узле
и предназначенный узлу
, является простейшим со
средней интенсивностью
пакетов/сек. Соответственно, полная
средняя интенсивность трафика в сети определяется по формуле
,
где
- общее число УК. Величины
считаются известными,
т.к. их можно либо измерить, если сеть находится в режиме эксплуатации, либо
оценить путем моделирования. Действительно, при эксплуатации сети для каждого
узла
можно
подсчитать число переданных сообщений
узлу
за время наблюдения
сек. Тогда оценка интенсивности
определяется как
.
Рис. 7.8. Упрощенная схема сети связи
Так
как пакеты из узла
в
узел
могут
передаваться разными маршрутами, то средняя интенсивность использования канала
не равна в точности
.
Однако, зная коэффициенты использования той или иной линии связи, можно
определить данную характеристику по формуле
,
где
- доля потока
, проходящая по линии
. Величины
подобны весовым
коэффициентам
в
игровом методе построения ПРИ и выбора маршрутов. Основное их отличие
заключается в том, что они являются характеристикой потока строго заданного
маршрута между узлами
и
, в то время
как весовые коэффициенты характеризуют распространение потока в целом, не
привязываясь к конкретному маршруту. Поэтому величины
дают более полную информацию о
сети связи и могут быть определены экспериментально подобно коэффициентам
.
Важной
характеристикой качества функционирования сети является среднее время
доставки пакета,
которая определяется как математическое ожидание от временных задержек
доставки пакетов между
узлами
и
:
,
где
- вероятность передачи сообщения
от узла
к узлу
. Данную вероятность
можно выразить через интенсивность потоков
, если предварительно выполнить их
нормировку, т.е.
.
Тогда выражение для
средней задержки пакета в сети можно записать в виде
.
Применение
формулы Литтла к данному выражению приводит к общему, и в то же время
чрезвычайно простому результату, впервые полученному Л. Клейнроком [9]:
,
где
- среднее время пребывания
сообщений в линии.
В
общем случае получить аналитические выражения для
невозможно, однако, учитывая сделанные
предположения о пуассоновском потоке заявок, каждую линию связи можно
рассмотреть как независимую цифровую систему типа M/M/1 и
воспользоваться ранее выведенной формулой для определения среднего времени
нахождения пакета в системе:
,
где
- среднее время передачи пакета
по каналу
;
- среднее время
пребывания пакета в буфере. Величина нагрузки в данном случае определяется как
. Таким образом,
получаем следующее выражение для среднего времени пребывания пакета в системе:
и приходим к окончательной
формуле для вычисления средней задержки передачи пакета в цифровой системе:
.
Полученное
выражение для средней задержки пакета в сети связи позволяет поставить обратную
задачу: найти величины
, при которых средняя задержка
минимальна. Причем на
основе вычисленных величин
можно сформировать матрицы весовых
коэффициентов
,
используемые в игровом методе при формировании маршрутов движения заявок. К
сожалению, на сегодняшний день отсутствует общее решение данной задачи, но
известны ее частные решения, которые можно найти в работе [10].