6.6. Анализ систем с самоподобным характером времени обслуживания

Проведенные исследования показывают [2,8], что для некоторых цифровых сетей связи, например Ethernet, Telnet, Opnet и др., адекватными являются модели, в которых интервалы времени входного потока пакетов описываются на основе экспоненциального распределения, а время обслуживания на основе ПРВ с долговременной зависимостью, например, Парето или Вейбулла.

Допустим, что имеется цифровая система, состоящая из буфера неограниченного объема и одного сервера, с временем обработки, подчиняющимся ПРВ Парето. Входной поток будем считать простейшим со средней интенсивностью . Требуется определить среднее время нахождения пакета в системе и среднюю длину очереди в буфере.

На основе ПРВ Парето можно определить среднее время обработки одного пакета на сервере:

,

где  - параметры ПРВ Парето. Входную нагрузку определим как

.

Зная среднее время обработки  одного пакета на сервере и величину входной нагрузки , можно определить среднее время ожидания пакета в буфере с помощью формулы Полячека-Хинчина:

,

где  - второй момент для времени обслуживания, который определяется как

.

Для дальнейших расчетов данную величину удобно выразить через дисперсию и математическое ожидание времени обслуживания:

,

откуда

.

В случае распределения Парето величина

и

.

Таким образом, среднее время ожидания пакета в буфере такой цифровой системы определяется выражением

.

Используя формулу Литтла, найдем среднее число пакетов в буфере:

.

Аналогично можно определить среднее время пребывания пакета в системе, а также среднее число пакетов. Кроме того, подставляя вместо величин  и  значения для других ПРВ, например, Вейбулла, можно подобным образом выполнять анализ цифровых систем для других ПРВ.