5.2. Анализ цифровых сетей с простейшим входным потоком и неограниченным объемом буфера

Так как основным отличием цифровых сетей связи от аналоговых является то, что под заявками, поступающих на вход цифровой системы, понимается пакет данных определенной длины, а не вызов от абонента, то имеется возможность применять ранее рассмотренные формулы Эрланга применительно к анализу цифровых систем связи.

Рассмотрим односерверную систему, представленную на рис. 5.1. Будем полагать, что ее буфер способен хранить очередь бесконечной длины, а сервер обрабатывает поступающие пакеты со средней интенсивностью . Если положить, что интервалы времени между поступлениями пакетов распределены по экспоненциальному закону с интенсивностью :

,

а время обработки одного пакета с той же ПРВ, но с параметром :

,

то для анализа систем связи можно воспользоваться формулой Эрланга для систем с ожиданием при бесконечной длине очереди:

                                                         (5.1)

где ;  - число серверов. В случае одного сервера имеем

, при

Полученное выражение можно рассматривать как ПРВ числа пакетов, находящихся в системе. Следовательно, их среднее число в системе можно найти как математическое ожидание:

.

Для нахождения среднего времени пребывания пакета в системе воспользуемся формулой Литтла, из которой получаем

.

На рис. 5.2 представлены зависимости среднего числа пакетов  и среднего времени пребывания пакетов  в системе, в зависимости от входной нагрузки .

Рис. 5.2. Зависимость среднего числа пакетов и среднего времени от входной нагрузки

Следует заметить, что среднее число пакетов  в системе состоит из среднего числа пакетов в буфере  и среднего числа пакетов на сервере , т.е. . Из данного выражения следует, что среднее число пакетов в буфере можно найти по формуле

,

а среднее время ожидания в очереди как

.

Рассмотрим теперь случай, когда в системе находится два сервера, причем оба одинаково доступны поступающим пакетам из канала связи (рис. 5.3). Системы с несколькими серверами такого типа называют полнодоступными. Очевидно, что производительность данной системы будет выше, по сравнению с односерверной.

Рис. 5.3. Схема двухсерверной цифровой системы

Используя формулу (5.1) вычислим вероятность нахождения  пакетов в системе:

.

Аналогичным образом найдем среднее число пакетов в системе и среднее время ожидания:

,

.

Таким образом, в системе с двумя серверами среднее число пакетов и  время ожидания меньше по сравнению со схемой с одним сервером. Здесь интересно провести сравнение двухсерверной системы с производительностью каждого  и односервреной с производительностью вдвое большей . То есть ответить на вопрос: что лучше распараллеливание потоков данных или более быстрая их обработка? Используя формулу (5.1), получим среднее время ожидания пакетов в системе с интенсивностью обработки данных :

.

На рис. 5.4 представлены зависимости среднего времени ожидания пакетов в системе для двухсерверной системы с параметром  и односерверной с параметром .

Рис. 5.4. Зависимость среднего времени ожидания пакетов
для разных цифровых систем:

1 – двухсереверная система с параметром ; 2 – односреверная с параметром .

Анализ рис. 5.4 показывает, что увеличение вдвое скорости работы сервера оказывается более эффективным решением, чем использование еще одного параллельного сервера.

На основе формулы (5.1) можно получить характеристики систем с любым числом серверов. При этом поступают следующим образом. Вычисляют вероятность того, что поступивший пакет окажется в очереди (буфере) на основе выражения (5.1):

.

Используя данное выражение можно компактно выразить характеристики цифровой системы. Так, среднее число пакетов в буфере при  серверах определяется как

.

Среднее время ожидания пакета в буфере

.

Вероятность того, что в системе находится ровно  пакетов, имеет вид

.

Среднее число пакетов на обработке

,

а среднее число свободных серверов

.