Линейные нормированные пространства, линейные операторы

Понятие линейного пространства играет фундаментальную роль в анализе. Линейное пространство и линейные операторы в таких пространствах играют также важную роль во многих других разделах математики.

1. Определение линейного пространства. Примеры.

Определение 1. Множество элементов содержащее хотя бы один элемент, называется линейным или векторным пространством, если выполнены следующие аксиомы.

1. Для любых двух элементов х и у множества однозначно определен третий элемент этого множества, называемый их суммой и обозначаемый символом причем справедливы следующие свойства:

(коммутативность);

(ассоциативность);

в) существует такой элемент О, что для любого элемента элемент О называется нулевым или нулем пространства

г) для любого элемента существует такой элемент х, что элемент х называется противоположным к элементу х и обозначается обычно так:

2. Для любого числа а и любого элемента х пространства определен элемент у пространства называемый произведением а на х и обозначаемый символом причем справедливы следующие свойства:

(для любых чисел а и и любого элемента

(для любых чисел а и и любого элемента

(для любого числа а и любых элементов

для любого элемента

Если в аксиоме 2 используются только действительные числа, пространство называется действительным пространством. Если же рассмотрения ведутся с использованием комплексных чисел, то и пространство называется комплексным.

Элементы линейного пространства называют также векторами.

Рассмотрим некоторые примеры линейных пространств. При изучении метрических пространств были рассмотрены следующие множества (см. раздел о метрических пространствах, примеры): множество вещественных чисел, координатное -мерное пространство, множество непрерывных на сегменте функций и совокупность ограниченных последовательностей. Все эти множества представляют собой и примеры линейных пространств, если ввести операции сложения и умножения по следующим правилам.

1) В совокупности вещественных чисел — обычные арифметические операции сложения и умножения.

2) В -мерном координатном пространстве — по формулам

3) В пространстве непрерывных функций на отрезке — обычные операции сложения двух функций, т. е. и умножение функции на число, т. е.

В множестве ограниченных последовательностей введем операции сложения и умножения по формулам

Нетрудно проверить во всех перечисленных выше примерах выполнимость аксиом, определяющих линейное пространство. За этими линейными пространствами мы сохраним те же обозначения, что и в случае, когда рассматривались метрические пространства, т. е. соответственно в случае - обозначение в

случае в случае - обозначение случае 4) — обозначение .

Определение 2. Линейные пространства и называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если элемент соответствует элементу а элемент соответствует элементу то элемент соответствует элементу а элемент соответствует элементу (а — любое число).

Изоморфные пространства можно рассматривать как различные реализации одного и того же пространства, и такие пространства можно не различать.

2. Нормированные пространства. Банаховы пространства. Примеры.

Определение 3. Функция ставящая каждому элементу х линейного пространства в соответствие вещественное число называется нормой в линейном пространстве если она удовлетворяет следующим аксиомам:

тогда и только тогда, когда

для любого числа а;

для любых принадлежащих

Определение 4. Линейное пространство с введенной функцией называется линейным нормированным пространством.

Чтобы подчеркнуть, что пространство нормированное, обозначают его обычно буквой

Значение нормы на элементе х пространства называется нормой вектора х или длиной или модулем этого, вектора.

Норма вектора всегда неотрицательна и равна нулю только для нулевого вектора. Действительно, полагая в аксиоме с учетом 1) и 2), получаем, что

т. е.

В любом нормированном пространстве может быть введена естественная метрика по правилу Из аксиом задающих норму, вытекает, что функция действительно задает расстояние в пространстве, т. е. удовлетворяет аксиомам расстояния.

Кроме того, поскольку — линейное пространство, метрика инвариантна относительно сдвигов, т. е.

и положительно однородна, т. е.

С появлением естественной метрики в нормированном пространстве могут быть введены все те понятия, которые мы рассматривали в метрических пространствах, например полнота и т. п.

Следующее определение выделяет из всех нормированных пространств важнейший класс пространств, называемых банаховыми.

Определение 5. Банаховым пространством называется полное линейное нормированное пространство.

Приведем примеры банаховых пространств.

Примеры. 1) Пространство — действительная числовая ось с обычными арифметическими операциями, как мы знаем, является линейным пространством. Оно превращается в нормированное пространство, если норму числа х положить равной его абсолютной величине: Из свойств абсолютной величины вытекает, что выполнены все свойства нормы. Это нормированное пространство является полным, т. е. банаховым. Его полнота, т. е. полнота как метрического пространства с обычным расстоянием между действительными числами была установлена в гл. 3.

2) Линейное пространство рассмотренное нами выше, также является нормированным пространством, если норму вектора ввести по правилу

Аксиомы 1) и 2) нормы, очевидно, выполнены, а неравенство треугольника превращается в неравенство

которое является частным случаем (при неравенства Минковского для сумм (см. § 5 гл. 9). Это пространство является полным, так как сходимость означает, что все координаты вектора сходятся к соответствующим координатам вектора х. Осталось применить утверждение примера 1).

3) Пространство непрерывных функций с обычными операциями сложения функций и умножения функций на число, как мы уже говорили выше, является линейным пространством. Оно превращается в нормированное пространство, если положить , где - непрерывная на сегменте функция. Используя свойства абсолютной величины и функции шах, легко убедиться, что все аксиомы нормы здесь выполнены.

4) Пространство -ограниченных последовательностей также можно сделать нормированным, положив для Аксиомы нормы здесь также проверяются без труда. Можно убедиться также, что оно является полным нормированным пространством, т. е. банаховым пространством.

3. Операторы в линейных и нормированных пространствах.

Пусть — два линейных пространства и А — отображение пространства в

Определение 6. Отображение одного линейного пространства в другое называется линейным отображением или линейным оператором, если:

для любых векторов пространства для любого вектора и любого числа а.

Отображение прямого произведения линейных пространств в линейное пространство называется полилинейным, если линейно каждое отображение

получаемое из фиксированием всех переменных, кроме переменной, стоящей на месте. Здесь

Если задано линейное отображение линейного пространства в линейное пространство и пространство является действительной числовой осью (или комплексной плоскостью), то оператор А называют функционалом.

Рассмотрим некоторые примеры.

Примеры. 1) Пусть — произвольное линейное пространство. Оператор Е ставит в соответствие каждому элементу тот же элемент х этого же пространства, т. е. для любого Такой оператор называется единичным или единицей.

2) В трехмерном пространстве зададим оператор А как линейное преобразование, состоящее в проектировании каждого вектора на ось е. каждому вектору в соответствие ставится его координата на оси Оператор можно задать матрицей. Например, в базисе из единичных векторов направленных по осям координат соответственно, указанный оператор А можно задать так:

3) В пространстве линейный оператор А задан по правилу: Оператор А отображает [а, Ь] в числовую ось и является функционалом.

4) Модуль непрерывности (см. гл. 4) и дельтафункция т. е. оператор действующий по правилу , также являются функционалами на

4. Пространство операторов.

Пусть — два линейных пространства. Рассмотрим совокупность всех линейных операторов, отображающих . В множестве элементами которого являются линейные операторы, отображающие можно ввести алгебраические операции. Пусть — такие операторы. Определим сложение этих операторов посредством равенства

Умножение линейного оператора на число определим формулой

Очевидно, что при таких определениях все необходимые аксиомы, задающие линейное пространство, будут выполнены и рассматриваемое множество линейных операторов будет линейным пространством. Нулем этого пространства будет нулевой оператор О, т. е. оператор, переводящий любой вектор х в нулевой вектор: Пространство линейных операторов, которое мы ввели выше, обычно обозначается так: Если пространства кроме того, обладают некоторой топологией, например нормированы, то и пространство операторов будет обладать определенной топологией.

5. Норма оператора.

Пусть — два линейных нормированных пространства и оператор А отображает

Определение 7. Линейный оператор отобра жающий линейное нормированное пространство в линейной нормированное пространство называется ограниченным, если существует такая постоянная М, что для всех Индекс внизу символа нормы означает то пространство, в котором вычисляется норма вектора. Если это не будет вызывать недоразумений, эти индексы мы будем опускать.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Для того чтобы линейный оператор отображающий линейное нормированное пространство был непрерывен, необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен.

(Заметим, что непрерывность оператора понимается как непрерывность соответствующего отображения.)

Доказательство. Пусть А — непрерывный оператор. Если бы он был неограничен, то нашлась бы последовательность элементов такая, что

Пусть Тогда так как . С другой стороны,

Заметим, что (в силу линейности оператора А) действительно, Итак, не стремится к т. е. оператор А не является непрерывным в нулевой точке, что противоречит условию теоремы.

Обратно, если А ограничен, то Пусть при . Тогда при Следовательно, и оператор А непрерывен в точке х.

Определение 8. Пусть А — линейный ограниченный оператор. Наименьшая из постоянных М, удовлетворяющих условию

называется нормой оператора А и обозначается символом

Таким образом, согласно определению 8 норма оператора обладает следующими свойствами:

а) для любого справедливо неравенство

б) для любого числа найдется такой элемент что

Покажем, что или, что то же самое, Действительно, если то

Значит, и . С другой стороны, для любого существует элемент такой, что

Пусть Тогда то

Следовательно, и потому

Замечание. Из проведенных рассуждений следует, что

Выше (см. п. 4) нами было введено пространство операторов, отображающих линейное пространство в линейное пространство Это пространство играет важную роль в различных разделах анализа, и мы сейчас продолжим его изучение.

Предположим теперь, что указанные выше линейные пространства являются нормированными. Переобозначим их через соответственно, а соответствующее линейное пространство, элементами которого являются линейные ограниченные операторы, через . В пространстве можно ввести норму. Для этого норму элемента А пространства введем по правилу: Легко видеть, что эта норма удовлетворяет аксиомам определения нормы. Таким образом, линейное пространство элементами которого являются линейные ограниченные операторы, есть линейное нормированное пространство. Возникает естественный вопрос: когда это пространство является полным, т. е. банаховым?

Ответ на этот вопрос содержится в доказываемой ниже теореме.

Теорема. Если линейное нормированное пространство банахово, то пространство. линейных ограниченных операторов также является банаховым.

Доказательство. Пусть фундаментальная последовательность пространства операторов когда . Для любого х получим, что при Следовательно, если фиксировано, то последовательность элементов фундаментальна в т. е. в силу полноты эта последовательность сходится. Обозначим Мы получили, таким образом, отображение Оператор, осуществляющий это отображение, обозначим через А. Из свойств предела следует, что он линеен. Докажем его ограниченность. Из того, что при следует, что при , т. е. числовая последовательность фундаментальна в а следовательно, и ограничена. Существует такая постоянная М, что для любого натурального Отсюда получаем, что т. е. в силу того, что функция, определяющая норму (расстояние), непрерывна, имеем

Итак, оператор А — ограничен. Оператор А был нами определен как оператор, отображающий по указанному выше правилу. Покажем, что А является пределом последовательности в смысле сходимости по норме в пространстве Зададим произвольное и выберем по так, что для и любого х такого, что Пусть Тогда для и всех х с нормой, не превосходящей единицы. Поэтому для получим е. Следовательно, в смысле сходимости по норме в пространстве т. е. это пространство банахово, что и требовалось доказать.

6. Понятие гильбертова пространства.

Определение 9. Гильбертовым пространством называется множество Н элементов обладающее следующими свойствами:

1) Н представляет собой линейное пространство, т. е. в определены действия сложения и умножения на действительные или комплексные числа (в зависимости от этого Н называется действительным или комплексным пространством).

2) Н является метрическим пространством, причем метрика вводится с помощью скалярного произведения, т. е. числовой функции от пары аргументов называемой их скалярным произведением и удовлетворяющей аксиомам:

а) Для любого числа а;

Норма элемента определяется равенством расстояние между элементами полагается равным

является полным пространством, как метрическое пространство с введенным выше расстоянием. (Конечномерное пространство всегда полно.)

Возьмем произвольные элементы пусть X — действительное число. Тогда

и, следовательно, такой многочлен относительно X не может иметь различных действительных корней. Отсюда вытекает, что

Таким образом (даже в случае

Мы получили неравенство Коши — Буняковского, Знак равенства в нем, помимо тривиального случая или достигается только тогда, когда при некотором значении X, т. е. когда веоры коллинеарны.

Используя это неравенство, легко проверить, что норма элемента и расстояние удовлетворяют всем аксиомам, входящим в их определение.

Вместе с метрикой в гильбертовом пространстве появляются понятия, связанные с предельным переходом в смысле введенного расстояния.

Наличие скалярного произведения позволяет ввести в Я понятия угла между векторами (если Н вещественно). Угол между векторами определяется равенством

Это понятие, в свою очередь, позволяет назвать два вектора ортогональными, если они образуют угол в 90°. Другими словами, векторы называются ортогональными, если

Если вектор ортогонален векторам то он ортогонален и их линейной комбинации

Если векторы ортогональны вектору и то вектор ортогонален вектору

Из сказанного следует, что совокупность всех векторов, ортогональных векторам где фиксировано, образует замкнутое линейное многообразие, т. е. подпространство, называемое ортогональным дополнением к множеству

В гильбертовом пространстве можно ввести важное понятие сопряженного оператора.

Определение 10. Оператор А называется сопряженным к линейному ограниченному оператору А, если для любых элементов выполняется равенство

Ограниченный линейный оператор А, действующий в гильбертовом пространстве , называется самосопряженным, если для всех х и у из .

Примеры. 1) В -мерном пространстве элементами которого являются наборы чисел можно ввести скалярное произведение по формуле Учитывая, что конечномерное пространство полное, заключаем, что является гильбертовым пространством. Аксиомы скалярного произведения здесь, очевидно, выполнены.

2) Операторы Е (единичный), О (нулевой) являются примерами самосопряженных операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Для них всегда выполнены соотношения