7.2. Гомоморфизм групп

• Определение. Гомоморфизмом группы называется отображение сохраняющее операции: где операция в группе операция в группе взаимно однозначное отображение, то называется изоморфизмом.

Свойства гомоморфизма Свойство 1. Единичный элемент переходит в единичный. Пусть единица единица Действительно, так . В группе Значит,

Свойство 2. Обратный элемент переходит в обратный. Пусть тогда Действительно, так как где В группе Следовательно,

• Определение. Образом гомоморфизма называется подмножество

• Определение. Ядром гомоморфизма называется подмножество

• Утверждение подгруппа. Доказательство. Проверим все свойства (аксиомы) группы.

1. Замкнутость. Тогда

2. Существование единичного элемента. Так как

3. Существование обратного элемента. Тогда и

Утверждение подгруппа. Доказательство. Проверим все свойства (аксиомы) группы.

1. Замкнутость. Следовательно,

2. Существование единичного элемента. Так как значит,

3. Существование обратного элемента.