Глава 7. Введение в теорию групп. Приложения

7.1. Определение группы

• Определение. Группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией • (будем называть умножением) такой, что выполняются следующие аксиомы:

1. - замкнутость относительно операции •.

2. — ассоциативность операции .

3. — существование единичного элемента .

4. — существование обратного элемента .

• Определение. Группа называется коммутативной, если выполняется аксиома коммутативности:

5. - коммутативность операции

Примеры групп

1. - группа с операцией сложения чисел, где множество целых чисел. Действительно, единица группы; обратный элемент .

2. — группа с операцией сложения чисел.

3. - группа с операцией умножения чисел.

4. - множество квадратных матриц порядка определитель которых не равен нулю, является группой с операцией умножения матриц.

5. - множество ортогональных матриц порядка является группой с операцией умножения матриц.

6. - группа с операцией умножения чисел.

7. - множество рациональных чисел является группой относительно операций сложения и умножения (без нуля).

8. - множество вещественных чисел является группой относительно операций сложения и умножения (без нуля).

9. - множество подстановок (перестановок) является группой с операцией умножения подстановок (симметрическая группа

Определение. называется подгруппой группы если группа относительно бинарной операции, определенной в т.е. для элементов выполняются аксиомы 1—4. Так, например, являются подгруппами: .

• Утверждение 7.1.1. Пусть подмножество группы выполняется Показать, что подгруппа. Данное условие можно рассматривать как характеристическое свойство группы.

Доказательство. Проверим выполнение аксиом группы.

1. Существование единичного элемента. Пусть тогда

2. Существование обратного элемента. Пусть и так как то

3. Замкнутость. Пусть тогда и Значит, и