Доказательство. Пусть
циклическая группа с образующим элементом
подгруппа. Предположим, что наименьшая положительная степень элемента
содержащаяся в
есть
Покажем, что элемент — образующий элемент подгруппы
Допустим, что в
содержится элемент, где
не делится на k. Пусть
наибольший общий делитель, тогда существуют такие целые числа
что к
Следовательно, подгруппа
этом случае должна содержать элемент
Так как
то приходим к противоречию относительно выбора элемента
Таким образом,
образующий элемент подгруппы
• Утверждение 7.3.4. Число образующих циклической группы
равно значению функции Эйлера
количество чисел из множества
взаимно простых
Доказательство. Пусты
и
(см. п.8.1), т.е.
взаимно простые. Если предположить, что наступит
для некоторого
то
некоторого
так как
порядок элемента
Из
следует, что
делит
, так как
Это противоречит предположению
Следовательно, порядок элемента
Пусть теперь
т.е.
где
Тогда
а значит порядок элемента
Действительно, порядок
не меньше
в противном случае имеем
где
так как
порядок элемента
Как и в первом случае, из
следует, что
делит
Это противоречит предположению
.
• Определение. Подгруппа
группы
называется нормальным делителем, если правые смежные классы совпадают с левыми:
• Утверждение 7.3.5. Множество смежных классов группы
по нормальному делителю Яявляется группой с операцией умножения смежных классов. Такая группа называется факторгруппой и обозначается
Элементами этой группы являются смежные классы разложения группы
непересекающиеся левые смежные классы, т.е.
Доказательство. Проверим выполнение аксиом группы.
1. Замкнутость.
Произведение двух классов — это умножение каждого с каждым элементов указанных классов.
2. Существование единичного элемента. Так как
то
единица факторгруппы
3. Существование обратного элемента. Так как
то
обратный элемент к элементу
• Теорема 7.3.3. Для любого нормального делителя
группы
отображение
является гомоморфизмом, ядро которого
факторгруппа.
Доказательство. Проверим свойство гомоморфизма сохранения операций:
Единицей факторгруппы
является
тогда
Имеем
откуда
. С другой стороны,
В противном случае, если
то существует такое
что
или
что противоречит предположению
Таким образом, только
а значит,
• Теорема 7.3.4. Ядро произвольного гомоморфизма есть нормальный делитель.
Доказательство.
где
— группы,
гомоморфизм.
Обозначим
подгруппа. Покажем, что
т.е.
нормальный делитель.
Рассмотрим множество
где
фиксированный элемент. Покажем, что
где
произвольный фиксированный элемент. Пусть
тогда
Отсюда
или
Таким образом,
С другой стороны,
Отсюда
или Так же проверяется, что и
Получили, что
т.е.
нормальный делитель.