7.3. Смежные классы

• Определение. Пусть подгруппа группы Множество полученное умножением элементов слева на элемент называется левым смежным классом группы по подгруппе

Лемма 7.3.1. Пусть подгруппа группы тогда

Доказательство. Пусть — замкнутость подгруппы, значит . С другой стороны, откуда Таким образом,

Лемма 7.3.2. Пусть подгруппа группы Если то где

Доказательство. Пусть тогда такие, что Рассмотрим левый смежный класс откуда

Лемма 7.3.3. Пусть подгруппа группы тогда

Доказательство. Для доказательства достаточно показать, что все элементы в различные. Пусть такие, что Тогда или откуда что противоречит предположению.

• Лемма 7.3.4. Группа распадается на непересекающиеся левые смежные классы по подгруппе т.е. где - различные; если . Доказательство. Пусть Ясно, что Воспользовавшись леммой удалив совпадающие левые смежные классы из последнего разложения, получим искомое разложение группы

Теорема 7.3.1 Лагранжа. Порядок конечной группы кратен порядку любой из ее подгрупп целое число, называется индексом подгруппы группе Доказательство. Лемма 7.3.4 позволяет записать разложение группы где при Из леммы 7.3.3 имеем тогда Следовательно, где

Определение. Пусть группа. Порядком элемента называется наименьшее целое к такое, что

Утверждение 7.3.1. Пусть группа и произвольный элемент порядка k. Тогда множество называется циклической подгруппой, есть образующий ее элемент.

• Утверждение 7.3.2. Порядок группы кратен порядку любого элемента (Следствие теоремы 7.3.1 Лагранжа и утверждения 7.3.1).

• Утверждение 7.3.3. Всякая циклическая группа коммутативна (абелева).

• Теорема 7.3.2. Всякая подгруппа циклической группы сама является циклической.

Доказательство. Пусть циклическая группа с образующим элементом подгруппа. Предположим, что наименьшая положительная степень элемента содержащаяся в есть Покажем, что элемент — образующий элемент подгруппы Допустим, что в содержится элемент, где не делится на k. Пусть наибольший общий делитель, тогда существуют такие целые числа что к Следовательно, подгруппа этом случае должна содержать элемент Так как то приходим к противоречию относительно выбора элемента Таким образом, образующий элемент подгруппы

• Утверждение 7.3.4. Число образующих циклической группы равно значению функции Эйлера количество чисел из множества взаимно простых Доказательство. Пусты и (см. п.8.1), т.е. взаимно простые. Если предположить, что наступит для некоторого то некоторого так как порядок элемента Из следует, что делит , так как Это противоречит предположению Следовательно, порядок элемента

Пусть теперь т.е. где Тогда а значит порядок элемента Действительно, порядок не меньше в противном случае имеем где так как порядок элемента Как и в первом случае, из следует, что делит Это противоречит предположению .

• Определение. Подгруппа группы называется нормальным делителем, если правые смежные классы совпадают с левыми:

• Утверждение 7.3.5. Множество смежных классов группы по нормальному делителю Яявляется группой с операцией умножения смежных классов. Такая группа называется факторгруппой и обозначается Элементами этой группы являются смежные классы разложения группы непересекающиеся левые смежные классы, т.е.

Доказательство. Проверим выполнение аксиом группы.

1. Замкнутость. Произведение двух классов — это умножение каждого с каждым элементов указанных классов.

2. Существование единичного элемента. Так как то единица факторгруппы

3. Существование обратного элемента. Так как то обратный элемент к элементу

• Теорема 7.3.3. Для любого нормального делителя группы отображение

является гомоморфизмом, ядро которого факторгруппа.

Доказательство. Проверим свойство гомоморфизма сохранения операций: Единицей факторгруппы является тогда

Имеем откуда . С другой стороны, В противном случае, если то существует такое что или что противоречит предположению Таким образом, только а значит,

• Теорема 7.3.4. Ядро произвольного гомоморфизма есть нормальный делитель.

Доказательство. где — группы, гомоморфизм. Обозначим подгруппа. Покажем, что т.е. нормальный делитель.

Рассмотрим множество где фиксированный элемент. Покажем, что где произвольный фиксированный элемент. Пусть тогда Отсюда или Таким образом, С другой стороны, Отсюда или Так же проверяется, что и

Получили, что т.е. нормальный делитель.