7.4. Строение коммутативных (абелевых) групп

• Определение. Группа является прямым произведением своих подгрупп т.е. если выполнены следующие условия:

1. Пересечение подгрупп

2. Любой элемент однозначно представим в виде произведения элементов где

3. Если то Коммутативность указанных элементов позволяет записать представление где в виде и Лемма 7.4.1 утверждает, что это представление однозначное.

• Лемма 7.4.1. Пусть группа и ее подгруппы, для которых пересечение Тогда, если то Доказательство. Действительно, если

Следовательно,

• Теорема 7.4.1. Группа С является прямым произведением своих подгрупп тогда и только тогда, когда выполняются условия:

1. Пересечение подгрупп

2. Любой элемент однозначно представим в виде произведения элементов

3. Подгруппы являются нормальными делителями. Доказательство. Очевидно, что если группа является прямым произведением своих подгрупп то условия 1-3 выполняются.

Достаточно показать, что если то Имеем тогда откуда Также тогда значит, Итак, а так как то из леммы 7.4.1 следует, что Следовательно,

• Утверждение 7.4.1. Пусть конечная абелева группа порядка где простые различные числа. Множество где а принимает произвольные целые значения, является подгруппой и называется примарной подгруппой группы соответствующей простому числу

Теорема 7.4.2. Всякая конечная абелева группа разлагается в прямое произведение своих примарных подгрупп

Доказательство — индукция по числу простых в разложении порядка Очевидно, что для справедливо, в этом случае Пусть теперь где Покажем, что представимо в виде Проверим свойства разложения.

1. . Если предположить, что то тогда и что противоречит условию

2. Покажем, что любой элемент можно представить в виде где Поскольку порядок делит где взаимно простые, то существует представление (см. п.8.1 алгоритм Евклида), где целые. Тогда или гдеу для которых Проверить, если то порядок делит Отсюда

Пусть разложение верно для т.е. для

Рассмотрим группу порядка тогда возможно прямое разложение где это доказывается как и для случая Имеем: группа примарная, группа по предположению индукции разлагается в прямое произведение своих примарных подгрупп; теорема доказана.

• Утверждение 7.4.2. Порядок конечной примарной группы (подгруппы) равен где некоторое положительное целое; а принимает произвольные целые значения.

Доказательство. Рассмотрим следующее разложение примарной группы. Пусть циклическая подгруппа максимального порядка По теореме Лагранжа (см. теорему 7.3.1) где факторгруппа по подгруппе Ясно, что значит, примарная группа, которая вновь допускает разложение на смежные классы по циклической подгруппе максимального порядка, т.е. где Исходная примарная группа конечного порядка и, следовательно, за конечное число шагов получим разложение или

Лемма 7.4.2. Пусть примарная группа (подгруппа), циклическая подгруппа максимального порядка с образующим элементом факторгруппа, класс смежности порядка т.е. тогда существует элемент того же порядка Доказательство. Так как то для любого выполняется где А — единица факторгруппы Следовательно, где Положим образующий элемент группы А, тогда или Так как образующий элемент А, то порядок у. Вследствие максимального порядка подгруппы порядок Отсюда или Теперь равенство можно записать в виде так как Таким образом, элемент порядок которого

• Теорема 7.4.3. Всякая конечная примарная группа (подгруппа) разложима в прямое произведение своих циклических подгрупп. Если где циклическая подгруппа порядка Доказательство — индукция по числу Для теорема верна, т. к. (показать) группа , где - простое, является циклической и не содержит подгрупп. Предположим, что теорема верна для всех групп меньшего порядка Пусть циклическая подгруппа максимального порядка Рассмотрим факторгруппу Данная группа является примарной порядка Предположение индукции позволяет записать для нее разложение Обозначим через образующие циклических подгрупп. Лемма 7.4.2 утверждает, что существует и можно положить Из прямого разложения факторгруппы следует, что любой класс смежности можно представить в виде или где Так как то произвольный элемент представим как Таким образом, искомое прямое разложение на циклические подгруппы найдено.

Покажем, что представление единственно. Доказательство единственности — индукция по числу Для имеем свойство выполняется. Пусть оно верно для всех Покажем, что верно и для групп порядка Предположим существование другого разложения группы где Ясно, что порядок

Запишем разложение группы в уточненном виде

Рассмотрим группу Для этой группы справедливы разложения:

где .

Порядок следовательно, по предположению индукции разложения совпадают, т.е. а значит, и или Единственность разложения доказана.

Пример. Пусть коммутативная группа порядка Так как то группа разложима в произведение следующих своих циклических подгрупп

Пример. Пусть коммутативная группа порядка Так как то группа разложима в произведение следующих своих циклических подгрупп или и в явном виде циклическая или