5.2. Вероятность ошибки декодирования

Рассмотрим канал с входным алфавитом из А букв, которые мы для удобства перенумеруем -ичными символами. Обозначим выход через у, и пусть,

как и в гл. есть некоторая произвольная функция, заданная на выходном алфавите. Пусть суть кодовых слов блокового кода Теперь определим расстояние между входным словом и выходом следующим образом:

где

Определим

Усреднение в равенствах (5.18) и (5.19) проведено в соответствии с условным распределением выхода канала у при переданном Ограничим свое внимание каналами, симметричными в том смысле, что не зависят от при подходящем выборе . В дальнейшем мы будем рассматривать только те функции для которых выполнено это условие симметрии.

Примером такого канала может служить канал с -ичными символами на входе и выходе, для которого вероятность принять переданный символ равна а вероятность принять некоторый отличный от него символ равна Другим примером служат ортогональных сигналов равной энергии либо в канале с белым гауссовским шумом, либо в канале с релеевскими замираниями, аналогичным приведенным на рис. 3.1.

Декодирование по методу максимума правдоподобия в таком канале, когда принято слово эквивалентно выбору минимизирующего Таким образом, можно оценить вероятность ошибки

декодирования по методу максимума правдоподобия, когда передано следующим образом:

Тогда теоремы 3.1 и 3.2 можно непосредственно использовать для оценки в неравенствах (5.21) и (5.22):

где задаются равенствами (5.18) и (5.19), а есть функция расстояния кода. Для ансамбля кодов с проверками на четность правые части неравенств (5.20), (5.23) и (5.24) оценивают среднюю по ансамблю вероятность ошибки через произвольные параметры Как и в гл. 3, значение оптимизирует оценку по однако никаких других упрощений не найдено. Неравенства (5.20), (5.23) и (5.24) вместе с неравенством (5.11) позволяют тем не менее показать, что вероятность ошибки для улучшенного ансамбля -кодов при достаточно малых скоростях убывает экспоненциально с ростом длины блока.