6.3. Канал с белым гауссовским шумом

В двух следующих разделах каждый из рассматриваемых каналов состоит из передатчика двоичной информации, физического канала и приемника,

работающего по методу максимума правдоподобия. Мы принимаем, что выходом этого приемника служит логарифмическое отношение правдоподобия

где переданный символ, — принятый сигнал, соответствующий этому символу, и у — выход приемника. Такой выход, конечно, можно было бы преобразовать в двоичный символ до того, как будет сделана попытка декодировать блок символов, однако при этом преобразовании была бы потеряна часть информации о переданной последовательности. Поскольку вероятностная схема естественным образом работает с логарифмическим отношением правдоподобий, естественно спросить, какой выигрыш в вероятности ошибки, мощности сигнала и скорости передачи можно получить при использовании декодером выхода приемника, вычисляющего отношение правдоподобия, вместо предварительно полученного двоичного решения. Оказывается, что для двух рассматриваемых ниже каналов этот выигрыш имеет первостепенное значение.

Допустим для канала с белым гауссовским шумом, что каждые сек передается один из сигналов. Эти сигналы попадают на приемник должным образом ослабленными и с задержкой и представляются двумя функциями отличными от нуля только в пределах от до Оба сигнала имеют равные энергии

Пусть выборочное значение белого гауссовского шума со спектральной плотностью на единицу полосы; оно складывается с сигналом на приемнике. Легко показать тогда [8], что отношение правдоподобия, вычисленное идеальным приемником, равно

где - принятый сигнал. Если есть переданный символ, то и легко показать, что у нормально распределено с плотностью

Аналогичным образом

Эти вероятности иллюстрируются рис. 3.1, в.

На вычислительной машине ИБМ-7090 был выполнен ряд экспериментов с кодами различных длин и скоростей; при этом выход канала выбирался датчиком псевдослучайных чисел в соответствии с плотностью распределения вероятностей (6.1), которая соответствует нулевому кодовому слову. Моделируемый декодер запоминал принятые слова, а затем пытался декодировать их по вероятностному методу декодирования. Результаты этих экспериментов для длины блока 504 и скоростей приведены на рис. 6.6. Энергия сигнала, отложенная по оси абсцисс, есть энергия на информационный символ, поэтому

Предполагалось, что второй сигнал противоположен, т. е. в выражении Для случая ортогональных сигналов следует к каждому значению на оси абсцисс прибавить 3 дб.

Тот факт, что вероятность ошибки для кодов со скоростью оказывается меньше, чем для кодов со скоростью требует некоторых разъяснений. Рассмотрим две системы с равными мощностями сигнала и шума, равными длинами блока и числом информационных символов в секунду. Если в одной системе кодирование производится со скоростью а во

второй — со скоростью то время на блок при скорости в два раза больше времени при скорости Поэтому улучшение при скорости следует объяснить прежде всего большей длительностью периода.

Рис. 6.6. Сравнение кодирования с малой плотностью проверок на четность с передачей без кодирования при белом гауссовском шуме.

С теоретической точки зрения больше оснований сравнивать случаи разных скоростей при заданном периоде кодовых ограничений, или заданной длительности кодовых ограничений, измеряемой числом информационных символов. Но так как стоимость использования декодера для кодов с малой плотностью проверок на четность определяется в первую очередь

длительностью ограничений, измеряемой числом символов в канале, мы использовали в качестве основы для сравнений именно эту последнюю длительность

Рис. 6.7. (см. скан) Влияние длины блока на поведение кода со скоростью 1/2 в канале с белым гауссовским шумом.

Рассмотрим теперь две системы — одну с кодированием со скоростью вторую вообще без кодирования, и пусть обе системы приводят к вероятности ошибки на символ, равной и обе передают одинаковое число информационных символов в секунду. Поскольку по оси абсцисс на рис. 6.6. отложена энергия на информационный символ, график показывает, что система с кодированием требует на (6,8-2,4)

т. е. на 4,4 дб, меньшей мощности сигнала, чем система без кодирования. Скорость менее выгодна, так как увеличение возможности исправления ошибок все же не полностью компенсирует потери в энергии на символ сигнала в канале (рис. 6.7).

Рис. 6.8. (см. скан) Сравнение решающего приемника с приемником, вычисляющим отношения правдоподобия,

Хотя и не было получено экспериментальных результатов по использованию приемника рассматриваемого типа в случае кодов со скоростями и 2/3, ввиду их малой эффективности при передаче по ДСК маловероятно, что они имеют какие-либо преимущества перед кодами со скоростью

Наконец, чтобы для декодирования проиллюстрировать преимущества приемника, вычисляющего отношение правдоподобия, перед решающим приемником, рассмотрим рис. 6.8. На нем сравниваются экспериментальные результаты применения кодов с малой плотностью проверок и вероятностного декодирования с оценкой снизу для любого кода той же длины и той же скорости; оценка предполагает использование решающего приемника и декодирования по методу максимума правдоподобия. По оси абсцисс на рис. 6.7 отложена вероятность перехода, которая получится, если будет применен решающий приемник. Другими словами,

Поучительным выводом из рис. 6.8 является важность использования приемника, вычисляющего отношение правдоподобия для увеличения корректирующей способности кода. Это в свою очередь показывает, что понятие «оптимальный код» не столь адекватно для техники связи, как это могло бы показаться из самого названия, и что простота и гибкость метода кодирования заслуживают большего внимания, чем свойство кода быть «оптимальным».