5.4. Вероятность ошибки при вероятностном декодировании

Рассмотрим канал с А входами и выходами, перенумерованными от 0 до Переходные вероятности канала задаются следующим образом:

Рассмотрим дерево проверочных множеств, такое, как приведенное на рис. 4.1, с независимыми ярусами и Модифицируем метод декодирования следующим образом. Если оба проверочных соотношения, содержащие некоторый символ, не удовлетворены и принимают равные значения, изменим символ так, чтобы оба проверочных соотношения удовлетворились; во всех остальных случаях символ изменять не будем. Вероятность ошибки при таком методе служит оценкой сверху для вероятности ошибки при вероятностном декодировании. Вероятность того, что символ первого яруса принят искаженным, а затем исправлен, равна где есть вероятность того, что в одном из множеств по символов нет искаженных символов, или сумма искаженных символов по модулю А равна 0. Определим ошибку в символе как Покажем теперь, что

Заметим, что -преобразование обычной суммы ошибок в символах имеет следующий вид:

Рассмотрим теперь величину

Все степени этого выражения, не кратные А, взаимно уничтожаются ввиду их равномерного распределения по единичному кругу в комплексной плоскости, коэффициенты при степенях, кратных А, складываются, что и дает выражение для

Теперь, используя равенство (5.33), получаем

И наконец, объединяя равенства (5.36) и (5.34), получаем (5.31). Таким образом, вероятность того, что символ первого яруса принят неправильно, а затем исправлен, равна

Вероятность того, что символ первого яруса принят правильно, но изменен из-за двух одинаково искаженных проверок, равна

В равенстве (5.38) множитель есть вероятность того, что искаженные символы одного из

множеств символов не удовлетворяют уравнению, а множитель равен вероятности того, что сумма символов второго множества принимает значение, сравнимое по модулю А с суммой первого множества.

Объединяя соотношения (5.37), (5.38) и (5.31), получаем вероятность ошибки решения о символе в первом ярусе после первой итерации процесса декодирования:

Аналогичным образом для последовательных ярусов получаем

Скорость, с которой стремится к нулю, можно определить из равенства (5.40). При малых

Интересно отметить, что выражение (5.41) совпадает с выражением (4.14), но, конечно, максимальное значение при котором последовательность сходится к нулю, здесь другое. С ростом А эта величина растет до

Значительно труднее получить оценку вероятности ошибки декодирования для случаев Декодируемый символ должен изменяться всякий раз, когда будет определено позже) или большее число проверочных отношений, содержащих этот символ, все принимают одно значение. Символ следует изменить таким образом, чтобы были удовлетворены все

проверочных соотношений. При можно таким же способом, как это было сделано в разд. 4.3, показать, что

где

Теперь можно выбрать целое так, чтобы минимизировать причем на накладывается ограничение Решением задачи будет минимальное целое такое, что

При стремящемся к нулю, для четных для нечетных Раскладывая выражение (5.42) по степеням получаем

Заметим, что выражение (5.45) совпадает с (4.17), а с точностью до коэффициентов.

При выводе вероятности ошибки из равенства (4.18) в гл. 4 мы не использовали ограничения, связанные с тем, что алфавит двоичный, поэтому оценка вероятности ошибки, задаваемая неравенством (4.21), справедлива для кодов с произвольным объемом алфавита. Однако коэффициенты используемые в выражении (4.21), зависят от объема алфавита А.