Приложение А. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ B(l)

В гл. 2 была получена следующая оценка функции распределения минимального расстояния -ансамбля кодов

где

для оптимальной оценки.

В настоящем приложении мы докажем три теоремы о неравенстве . В первой теореме исследуется поведение вторая дает оценку суммы в неравенстве через ее первое и последнее слагаемое, а в третьей будет показано, что с ростом оценка в неравенстве сходится к функции распределения минимального расстояния ансамбля равновероятных кодов, оцениваемой в неравенстве (2.5)

Теорема А.1. Пусть и пусть определяется выражениями и Тогда

3 имеет всего один нуль в интервале

4. не имеет локальных минимумов в области, где

Доказательство. 1. Мы докажем, что показав, что каждое из трех слагаемых правой части неравенства стремится к нулю. Слагаемое задается выражением и, как нетрудно видеть, стремится к 0. Дифференцируя обе части равенства получаем

а отсюда при Но из равенства следует, что тогда

Это выражение также стремится к 0 при

2. Из равенства получаем

сделав подстановку

после некоторых преобразований равенства получим

На рис. приведена зависимость

3. Прежде чем перейти к доказательству 3-й и 4-й частей теоремы, нужно показать, что имеет всего один экстремум.

Рис. Зависимость и X от

Воспользовавшись равенством получим производную по

Положив ее равной нулю, получим

Функции в правых частях уравнений и убывают с ростом при Поэтому каждое уравнение имеет самое большее одно решение в этом интервале. Таким образом, имеет самое большее один экстремум и самое большее два нуля в интервале Тогда, помимо функция В обращается в нуль самое большее два раза. Но поскольку В положительна при X, близких к нулю, то из того, что она обращается в нуль два раза в интервале следует, что Из равенства однако, при в точке получаем, что

Поэтому имеет в точности один нуль в интервале

4. Если бы имело минимум в области, где то отсюда следовало бы существование максимумов по обе стороны минимума, для того чтобы оказывались выполненными условия Но это невозможно, так как имеет самое большее два экстремума. Ч.Т.Д.

Теорема Функцию распределения минимального расстояния -ансамбля можно оценить следующим образом):

Доказательство. Из неравенства (2.18) получаем, что

Слагаемое при можно оценить непосредственно. Вспомним, что есть число последовательностей веса 2, удовлетворяющих первым проверочным соотношениям любого фиксированного кода. Существует всего способов расположить две единицы в одном проверочном множестве; умножим число это на число проверочных множеств и получим

где и задаются равенствами и Для того чтобы оценить слагаемые в неравенстве для которых мало, заметим, что из равенства следует, что при Подставим найденное значение вместо решения уравнения в равенство в этом случае оценивается снизу следующим образом:

Подставив вместо X и воспользовавшись некоторыми неравенствами, получим

Из равенства имеем

Из неравенств и нетрудно видеть, что слагаемые с в убывают быстрее, чем Из теоремы следует, что при во всех слагаемых со значениями I от до оценивается снизу величиной либо либо (если правая часть неравенства больше единицы и оценивается единицей). Таким образом, сумма от до оценивается выражением

Первое слагаемое в выражении имеет следующую зависимость от

Второе слагаемое в выражении совпадает с последним слагаемым в правой части неравенства в утверждении теоремы. Ч.Т.Д.

Теорема А.3. Пусть отличное от нуля решение уравнения для -ансамбля, и пусть фиксировано Пусть решение уравнения Тогда

Теорема 2.2 утверждает, что есть типичное минимальное расстояние в ансамбле равновероятных кодов с проверками на четность; таким образом,

настоящая теорема утверждает, что с ростом типичное минимальное расстояние сходится к типичному минимальному расстоянию равновероятного ансамбля.

Доказательство. Перепишем выражение для в равенстве следующим образом:

Покажем, что второе слагаемое в фигурных скобках в выражении стремится к 0 с ростом Этого достаточно для доказательства теоремы, поскольку и потому первое слагаемое равно нулю только при

Сделав подстановку (см. равенства получим

Объединяя равенства и получаем выражение для второго слагаемого в равенстве

С ростом значения стремятся к нулю при любом Разлагая логарифмы, получаем

В этом выражении линейно по но экспоненциально. Поэтому второе слагаемое в равенстве стремится к 0. Ч.Т.Д.