2.5. Действие диффеоморфизмов на векторные поля
Мы уже нашли аналоги точек, диффеоморфизмов и векторных полей среди функционалов и операторов на 
Теперь рассмотрим действие диффеоморфизмов на векторные поля.
Возьмем касательный вектор 
и диффеоморфизм 
Касательный вектор 
есть вектор скорости образа кривой, выходящей из 
со скоростью 
Мы утверждаем, что
как функционалы на 
Возьмем кривую
тогда
Теперь найдем выражение для 
как дифференцирования алгебры 
Имеем
поэтому
т. е.
Итак, диффеоморфизмы действуют на векторные поля как подобия. В частности, диффеоморфизмы сохраняют композиции:
а потому — и скобки Ли векторных полей:
Если 
автоморфизм, то соответствующее подобие обычно обозначается через 
В этих терминах
Теперь вычислим инфинитезимальную версию оператора 
Пусть 
есть поток поля V:
Тогда
поэтому
Обозначим
тогда
Дифференцируя тождество
в момент 
получаем тождество Якоби для скобки Ли векторных полей
которое можно также записать в виде
или, в симметричной форме,
Множество 
является линейным пространством с дополнительной операцией — скобкой Ли, удовлетворяющей следующим свойствам:
1) билинейность —
2) кососимметричность —
3) тождество Якоби (2.20).
Иными словами, множество 
всех гладких векторных полей на гладком многообразии 
образует алгебру Ли.
Рассмотрим поток 
неавтономного векторного поля 
Найдем дифференциальное уравнение для семейства операторов 
в алгебре Ли 
Итак, семейство операторов 
удовлетворяет уравнению
с начальным условием
Семейство 
обратимое решение задачи Коши
для операторов 
Можно повторить схему вывода асимптотической формулы для решения задачи (2.9) и получить асимптотическое разложение
затем доказать единственность решения и оправдать следующее обозначение:
Аналогичные тождества для левой хронологической экспоненты имеют вид
Для асимптотического ряда (2.23) справедлива оценка остаточного члена, аналогичная оценке (2.13) для потока 
Обозначим частичную сумму
Тогда для любых 
где 
некоторый компакт, содержащий 
Для автономных векторных полей введем обозначение
Иными словами, семейство операторов 
есть единственное решение задачи
Справедливо асимптотическое разложение
Упражнение 2.3. Пусть 
и пусть 
— неавтономное векторное поле на 
Покажите, что 
