7.4. Ломаная

Рассмотрим систему из четырех материальных точек, расположенных в вершинах трехзвенной ломаной на двумерной плоскости. Мы изучим наиболее симметричный случай, когда все массы единичны и все звенья ломаной имеют единичную длину (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Ломаная

Голономные ограничения для точек

имеют вид

Поэтому

Положение системы определяется тремя углами и пространство состояний есть -мерный тор:

Неголономные ограничения на скорости сводятся к равенству

Чтобы выразить это равенство через координаты сначала обозначим

Учитывая условие получаем

Теперь вычислим дифференциальную форму:

Так как имеем

Следовательно, наша система задает распределение Кего; ранга 2 на -мерном многообразии Орбиты могут быть -мерными или -мерными. Чтобы различить эти два случая, можно поступить, как в предыдущем параграфе: найти базис из векторных полей и вычислить скобки Ли. Но сейчас легче исследовать интегрируемость распределения А двойственным образом, с помощью дифференциальных форм.

Предположим, что распределение А имеет -мерное интегральное многообразие Тогда

следовательно,

поэтому

В терминах внешнего произведения дифференциальных форм

Вычислим дифференциал и внешнее произведение:

Поэтому тогда и только тогда, когда

т. е.

или

Конфигурации (7.10) и (7.11) трудны для управления: если ни одно из этих равенств не выполняется, то т. е. система имеет

Рис. 7.2. Трудная для управления конфигурация:

Рис. 7.3. Трудная для управления конфигурация: -мерные орбиты. Если выбрать базис из векторных полей в распределении А, то уже первая скобка линейно не зависит от в точках, где нарушаются оба равенства (7.10), (7.11).

Остается исследовать интегрируемость распределения А в точках поверхностей (7.10), (7.11). Здесь но можно получить неинтегрируемость А благодаря скобкам более высокого порядка. Сначала рассмотрим двумерную поверхность

Если орбита через точку -мерна, то распределение А должно касаться в окрестности Но легко видеть, что, например,

Поэтому система имеет -мерные орбиты через любую точку поверхности

Аналогично легко показать, что орбиты через точки второй поверхности (7.11) также -мерны.

Пространство состояний связно, поэтому имеется единственная орбита (и множество достижимости) — все многообразие Система вполне управляема.