11.2. Дифференциальные k-формы

Дифференциальная -форма на это объект, который должен интегрироваться по k-мерным поверхностям в Инфинитезимально k-мерная поверхность представляется своим касательным пространством, т. е. некоторым k-мерным подпространством в Таким образом, нам нужен объект, двойственный ко множеству k-мерных подпространств линейного пространства. Зафиксируем линейное пространство Любое k-мерное подпространство определяется своим базисом Двойственные объекты должны задаваться отображениями

такими, что зависит только от линейной оболочки векторов и ориентированного объема -мерного параллелепипеда, порожденного векторами Более того, эта зависимость должна быть линейной. Напомним, что отношение объемов параллелепипедов, порожденных векторами

и векторами равно и что определитель матрицы порядка к есть полилинейная кососимметрическая форма от столбцов матрицы. Поэтому следующее определение двойственных объектов вполне естественно.

11.2.1. Внешние k-формы.

Пусть конечномерное вещественное линейное пространство, и пусть к Внешней к-формой на называется отображение

являющееся полилинейным:

и кососимметрическим:

Множество всех внешних -форм на обозначается через В силу кососимметричности любая внешняя форма степени равна нулю, т. е. при

Внешние формы можно умножать на вещественные числа, а внешние формы одной степени к можно складывать между собой, поэтому все суть линейные пространства. Мы сможем построить базис после того как рассмотрим еще одну операцию между внешними формами — внешнее произведение. Внешнее произведение двух форм есть внешняя форма степени

Для линейных -форм имеется естественное (тензорное) произведение

в результате которого получается билинейная, но не кососимметричная форма. Внешнее произведение есть антисимметризация тензорного:

Аналогично, тензорное и внешнее произведения форм это следующие формы степени

где сумма берется по всем перестановкам порядка четность перестановки Множитель вводится для нормировки суммы в (11.1), так как она содержит одинаковых слагаемых: например, если перестановка не перемешивает первые и последние аргумента, то все члены вида

равны

Этот множитель обеспечивает ассоциативность внешнего произведения:

Более того, внешнее произведение косокоммутативно:

Пусть базис пространства а соответствующий двойственный базис Если 1 к то следующие С элементов образуют базис пространства

Из равенств

при следует, что любая -форма единственным образом представляется в виде

где

Упражнение 11.1. Покажите, что для любых -форм и любых векторов выполняется равенство

Заметим, что пространство n-форм на n-мерном пространстве одномерно. Любая ненулевая n-форма на является формой объема. Например, значение стандартной формы объема на наборе из векторов равно

это ориентированный объем параллелепипеда, порожденного векторами

11.2.2. Дифференциальные k-формы.

Дифференциальная k-форма на есть отображение

гладкое Множество всех дифференциальных -форм на обозначается через Естественно гладкие функции на считать -формами, поэтому

В локальных координатах на области любая дифференциальная -форма единственным образом представляется в виде

Любое гладкое отображение

порождает перенос дифференциальных форм

следующим образом: для любой дифференциальной -формы -форма определяется как

Для -форм перенос есть просто замена переменных:

Отображение линейно относительно форм и сохраняет внешнее произведение:

Упражнение 11.2. Докажите правило композиции для переноса дифференциальных форм

где гладкие отображения.

Отметим, что в операторных обозначениях (когда точки пишутся слева от отображений как крышка не изменяет порядка отображений в композиции, в отличие от классического обозначения

Теперь мы можем определить интеграл -формы по ориентированной k-мерной поверхности. Пусть есть k-мерная открытая ориентированная область и

есть диффеоморфизм. Тогда интеграл -формы по k-мерной ориентированной поверхности определяется следующим образом:

остается только определить интеграл по в правой части. Так как есть -форма на она выражается через стандартную форму объема

Мы определим

как обычный кратный интеграл.

Интеграл определен корректно относительно сохраняющих ориентацию перепараметризаций поверхности При изменении ориентации интеграл меняет знак.

Понятие интеграла распространяется на произвольные подмногообразия следующим образом. Пусть есть k-мерное подмногообразие, и пусть Рассмотрим покрытие координатными окрестностями :

Возьмем разбиение единицы, подчиненное этому покрытию:

Тогда

Определенный таким образом интеграл не зависит от выбора разбиения единицы.

Замечание. Другой возможный подход к определению интеграла дифференциальной формы по подмногообразию основан на триангуляции подмногообразия.