19.4. Задача быстродействия на SO(3)

Рассмотрим твердое тело в которое может вращаться вокруг некоторой оси, закрепленной в теле. В каждый момент времени ориентация тела в определяет ортогональное преобразование Мы будем минимизировать длину кривой в соответствующей движению тела. Выберем натуральный параметр (длину дуги) тогда кривая удовлетворяет дифференциальному уравнению

где

есть единичный вектор угловой скорости, соответствующий фиксированной оси вращения в теле. Эта кривая — одноиараметрическая подгруппа в

и очевидно, что управляемость на невозможна.

Чтобы расширить возможности движения в выберем теперь две линейно независимые оси в теле:

и предположим, что тело может вращаться вокруг этих осей в определенных направлениях. Получаем систему

управляемую на

Для упрощения обозначений выберем такие векторы

что

Тогда управляемая система записывается как

Мы хотим найти кратчайшее вращение тела, переводящее начальную ориентацию в конечную конфигурацию Соответствующая задача оптимального управления имеет вид

Так как то эта задача эквивалентна задаче быстродействия:

Отметим, что

Более того, за счет изменения масштаба времени можно добиться, чтобы

Переходя к овыпуклению, получаем окончательную формулировку задачи:

где заданные векторы, удовлетворяющие равенствам (19.48), (19.49). Исследуем эту задачу быстродействия.

По принципу максимума, если пара оптимальна, то существует такая липшицева кривая

более того,

Условие максимума для функции

легко разрешается, если функция переключения

не обращается в нуль в точке Действительно, в этом случае оптимальное управление может принимать только экстремальные значения

Если функция переключения имеет только изолированные корни на некотором временном отрезке, то соответствующее управление принимает на этом отрезке только экстремальные значения. Более того, моменты времени, в которые переключается с одного экстремального значения на другое, изолированы. Такое управление называется релейным.

Исследуем структуру оптимальных управлений. Возьмем любую экстремаль, для которой кривая удовлетворяет начальному условию

Тогда дифференциальное уравнение

выполняется при до тех пор, пока функция переключения остается отличной от нуля. На этом временном отрезке

Исследуем поведение функции переключения Заметим, что ее производные не зависят от управления:

Если функция переключения обращается в нуль:

в точке, где

то соответствующее управление переключается, т. е. изменяет свое значение с на —1 или с —1 на Для того чтобы выяснить, какие последовательности переключений оптимального управления возможны, удобно ввести координаты на алгебре Ли

В силу равенств (19.48), (19.49) скобка Ли удовлетворяет условиям

это следует из свойств векторного произведения в Поэтому можно выбрать такой ортонормированный базис

что

В этом базисе точки переключения принадлежат горизонтальной плоскости

Пусть точка переключения, т. е. есть положительный корень функции Пусть в этой точке управление переключается с на —1 (случай переключения с —1 на +1 полностью аналогичен, мы покажем это ниже). Тогда

поэтому

Далее, так как гамильтониан принципа максимума неотрицателен, получаем

Поэтому точка лежит в первом квадранте плоскости

Пусть следующая после то точка переключения. Управление имеет вид

а кривая между переключениями является дугой окружности, полученной вращением точки вокруг вектора

Точки переключения удовлетворяют равенствам

Следовательно,

т.е. есть отражение относительно плоскости

Рис. 19.2. Оценка угла поворота в

Легко видеть, что угол поворота в от до вокруг ограничен:

(рис. 19.2).

Экстремальные значения в достигаются, когда точка лежит на границе конуса

Во втором случае точка так же, как и точка совершает полный поворот на угол Такая дуга не может быть частью оптимальной траектории: ее можно исключить с уменьшением конечного времени Следовательно, угол между двумя переключениями есть

Пусть следующее после переключение. Поведение управления после переключения на аналогично поведению после Действительно, наша задача быстродействия

допускает симметрию

После замены базиса

кривая сохраняется, но теперь она переключается в точке на —1. Этот случай уже был изучен, поэтому угол поворота от до опять равен в, более того, Следующая точка переключения есть и т.д.

Поэтому структура релейных оптимальных траекторий довольно проста. Такие траектории содержат некоторое количество точек переключения. Между этими точками переключения вектор поворачивается попеременно вокруг векторов а и на угол в постоянный вдоль каждой релейной траектории. Перед первым переключением и после последнего переключения вектор может повернуться соответственно на углы во и Система всех оптимальных релейных траекторий параметризована тремя непрерывными параметрами во, и двумя дискретными параметрами: количеством переключений и начальным управлением

Оптимальная траектория может не быть релейной, только если в точке соответствующей первому неотрицательному корню уравнения выполняются равенства

Тогда

Имеются две возможности:

(1) либо функция переключения принимает ненулевые значения для некоторых и сколь угодно близких к

для некоторого

Начнем с первой возможности. Из анализа релейных траекторий следует, что моменты переключения не могут накапливаться к то справа: угол поворота между двумя последовательными переключениями в Поэтому в случае (1) имеем

для некоторого То есть — момент переключения. Так как то угол поворота до следующей точки переключения есть что неоптимально. Поэтому в случае (1) оптимальных траекторий нет.

Рассмотрим случай (2). Продифференцируем тождество (19.50) дважды по

Тогда поэтому

т. е.

Это управление не определяется непосредственно из принципа максимума (мы нашли его с помощью дифференцирования). Такое управление называется особым.

Оптимальные траектории, содержащие особую дугу (соответствующую управлению могут иметь дугу с перед особой дугой с углом поворота вокруг а меньше такая дуга может быть и после особого участка. Поэтому возможны четыре типа оптимальных траекторий, содержащих особую дугу:

Семейство таких траекторий параметризовано тремя непрерывными параметрами (углом поворота на соответствующих дугах) и двумя дискретными параметрами (знаками на начальном и конечном отрезках)

Итак, мы описали структуру всех возможных оптимальных траекторий: релейных и стратегий с особым участком. Множества точек в достижимых с помощью таких стратегий, трехмерны, и объединение этих множеств покрывает всю группу Но легко видеть, что достаточно длинные траектории, следующие любой из двух стратегий, неоптимальны: эти два множества в пересекаются. Более того, каждая из стратегий пересекается сама с собой. Для того чтобы определить оптимальную траекторию для каждой точки в необходимо исследовать взаимодействие двух стратегий и пересечение траекторий, следующих одной и той же стратегии. Эта интересная задача остается открытой.

Отметим, что структура оптимальных траекторий в этой левоинвариантной задаче быстродействия на похожа на структуру оптимальных траекторий для машины Дубинса (параграф 13.5). Это сходство неслучайно: задачу о машине Дубинса можно сформулировать как левоинвариантную задачу быстродействия на группе изометрий плоскости.