6.3. Фазовый портрет
Опишем фазовый портрет первого из уравнений Эйлера
Это уравнение имеет два интеграла: энергию
и кинетический момент
Действительно,
в силу инвариантности скалярного произведения (6.4) и симметричности 
Потому все траектории 
уравнения (6.12) удовлетворяют ограничениям
т. е. принадлежат пересечениям сфер с эллипсоидами. Учитывая однородность системы (6.12), изобразим ее траектории на одной сфере — единичной:
все остальные траектории получаются с помощью гомотетий.
Пересечения единичной сферы с главными осями инерции, т. е. точки 
являются положениями равновесия, и других равновесий нет; см. уравнения (6.11).
Далее, положения равновесия 
соответствующие наибольшему и наименьшему собственным значениям 
устойчивы (это центры), а равновесия 
соответствующие неустойчивы (седла). Это определяется геометрией пересечений единичной сферы с эллипсоидами
Рис. 6.2. Фазовый портрет системы (6.12)
Действительно, при 
эллипсоиды содержатся внутри сферы и не пересекаются с ней. При 
эллипсоид касается единичной сферы изнутри в точках 
Далее, при 
и близких к 
эллипсоиды пересекают единичную сферу по двум замкнутым кривым, окружающим соответственно 
Аналогично устроены пересечения вблизи 
При 
эллипсоиды слишком велики и не пересекают единичную сферу; при 
малая полуось эллипсоида становится равной радиусу сферы, и он касается сферы снаружи в 
а при 
и близких к 
пересечение состоит из двух кривых, окружающих 
При 
эллипсоид касается сферы в концах средних полуосей 
и в окрестности каждой из точек 
пересечение состоит из четырех ветвей сепаратрис, стремящихся к этой точке. Уравнения сепаратрис выводятся из системы
Умножим первое уравнение на 
и вычтем из второго:
Следовательно, сепаратрисы принадлежат пересечению единичной сферы с двумя плоскостями
т. е. это дуги больших окружностей.
Оказывается, что из траекторий системы только сепаратрисы и положения равновесия принадлежат двумерным плоскостям. Более того, все остальные траектории удовлетворяют следующему условию:
т. е. векторы 
линейно независимы.
Действительно, возьмем любую траекторию 
на единичной сфере. Все траектории, гомотетичные данной, образуют конус вида
Но квадратичный конус в 
является либо вырожденным, либо эллиптическим. Условия 
означают, что 
т.е. конус (6.16) эллиптический. Теперь неравенство (6.15) вытекает из следующих двух фактов. Во-первых, 
т. е. траектория 
не касается порождающей конуса. Во-вторых, пересечение эллиптического конуса с плоскостью, не содержащей порождающей конуса, есть эллипс — сильно выпуклая кривая.
В силу уравнения (6.12) условие выпуклости (6.15) для конуса, порожденного траекторией, переписывается в следующим образом:
Плоские сепаратрисы на фазовом портрете являются регулярными кривыми на сфере, поэтому
или, в силу уравнения (6.12),
