6.3. Фазовый портрет

Опишем фазовый портрет первого из уравнений Эйлера

Это уравнение имеет два интеграла: энергию

и кинетический момент

Действительно,

в силу инвариантности скалярного произведения (6.4) и симметричности

Потому все траектории уравнения (6.12) удовлетворяют ограничениям

т. е. принадлежат пересечениям сфер с эллипсоидами. Учитывая однородность системы (6.12), изобразим ее траектории на одной сфере — единичной:

все остальные траектории получаются с помощью гомотетий.

Пересечения единичной сферы с главными осями инерции, т. е. точки являются положениями равновесия, и других равновесий нет; см. уравнения (6.11).

Далее, положения равновесия соответствующие наибольшему и наименьшему собственным значениям устойчивы (это центры), а равновесия соответствующие неустойчивы (седла). Это определяется геометрией пересечений единичной сферы с эллипсоидами

Рис. 6.2. Фазовый портрет системы (6.12)

Действительно, при эллипсоиды содержатся внутри сферы и не пересекаются с ней. При эллипсоид касается единичной сферы изнутри в точках Далее, при и близких к эллипсоиды пересекают единичную сферу по двум замкнутым кривым, окружающим соответственно Аналогично устроены пересечения вблизи При эллипсоиды слишком велики и не пересекают единичную сферу; при малая полуось эллипсоида становится равной радиусу сферы, и он касается сферы снаружи в а при и близких к пересечение состоит из двух кривых, окружающих При эллипсоид касается сферы в концах средних полуосей и в окрестности каждой из точек пересечение состоит из четырех ветвей сепаратрис, стремящихся к этой точке. Уравнения сепаратрис выводятся из системы

Умножим первое уравнение на и вычтем из второго:

Следовательно, сепаратрисы принадлежат пересечению единичной сферы с двумя плоскостями

т. е. это дуги больших окружностей.

Оказывается, что из траекторий системы только сепаратрисы и положения равновесия принадлежат двумерным плоскостям. Более того, все остальные траектории удовлетворяют следующему условию:

т. е. векторы линейно независимы.

Действительно, возьмем любую траекторию на единичной сфере. Все траектории, гомотетичные данной, образуют конус вида

Но квадратичный конус в является либо вырожденным, либо эллиптическим. Условия означают, что т.е. конус (6.16) эллиптический. Теперь неравенство (6.15) вытекает из следующих двух фактов. Во-первых, т. е. траектория не касается порождающей конуса. Во-вторых, пересечение эллиптического конуса с плоскостью, не содержащей порождающей конуса, есть эллипс — сильно выпуклая кривая.

В силу уравнения (6.12) условие выпуклости (6.15) для конуса, порожденного траекторией, переписывается в следующим образом:

Плоские сепаратрисы на фазовом портрете являются регулярными кривыми на сфере, поэтому

или, в силу уравнения (6.12),