Глава 19. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ НА КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ ЛИ

19.1. Риманова задача

Пусть компактная группа Инвариантное скалярное произведение на алгебре Ли определяет левоинвариантную риманову структуру на М:

Поэтому в каждом касательном пространстве имеется скалярное произведение Для любой липшицевой кривой

ее риманова длина определяется как интеграл скорости:

Задача состоит в том, чтобы для любой заданной пары точек найти кратчайшую кривую в соединяющую с

Соответствующая задача оптимального управления ставится следующим образом:

Сначала докажем существование оптимальных управлений. Параметризуя траектории управляемой системы (19.1) длиной дуги, мы видим, что задача с неограниченным управлением и на фиксированном отрезке [0,1] эквивалентна задаче с компактным пространством управляющих параметров и свободным конечным временем. После этого можно расширить пространство управляющих параметров до чтобы множество допустимых скоростей стало выпуклым. Тогда из теоремы Филиппова следует существование оптимальных управлений в полученной, а потому и в исходной задаче.

По неравенству Коши-Буняковского

более того, равенство имеет место только при Следовательно, риманова задача эквивалентна задаче

Функционал удобнее, чем так как гладок и его экстремали — автоматически кривые с постоянной скоростью. Далее будем рассматривать задачу с функционалом Гамильтониан принципа максимума для этой задачи равен

Условие максимума ПМП имеет вид

(1) Анормальный случай:

Из условия максимума следует, что Это противоречит ПМП, так как пара должна быть отличной от нуля. Поэтому анормальных экстремалей в данной задаче нет.

(2) Нормальный случай:

Условие максимума дает поэтому максимизированный гамильтониан гладок:

Заметим, что гамильтониан инвариантен (не зависит от ), что является следствием левоинвариантности задачи.

Оптимальное траектории суть проекции решений гамильтоновой системы, соответствующей Эта гамильтонова система имеет вид (см. (18.18))

Поэтому оптимальные траектории — левые сдвиги однопараметрических подгрупп в М:

Напомним, что оптимальные решения существуют. В частности, для случая получаем, что любая точка может быть представлена в виде

То есть любой элемент компактной алгебры Ли имеет логарифм а в алгебре Ли