По неравенству Коши-Буняковского
более того, равенство имеет место только при
Следовательно, риманова задача
эквивалентна задаче
Функционал
удобнее, чем
так как
гладок и его экстремали — автоматически кривые с постоянной скоростью. Далее будем рассматривать задачу с функционалом
Гамильтониан принципа максимума для этой задачи равен
Условие максимума ПМП имеет вид
(1) Анормальный случай:
Из условия максимума следует, что
Это противоречит ПМП, так как пара
должна быть отличной от нуля. Поэтому анормальных экстремалей в данной задаче нет.
(2) Нормальный случай:
Условие максимума дает
поэтому максимизированный гамильтониан гладок:
Заметим, что гамильтониан
инвариантен (не зависит от
), что является следствием левоинвариантности задачи.
Оптимальное траектории суть проекции решений гамильтоновой системы, соответствующей
Эта гамильтонова система имеет вид (см. (18.18))
Поэтому оптимальные траектории — левые сдвиги однопараметрических подгрупп в М:
Напомним, что оптимальные решения существуют. В частности, для случая
получаем, что любая точка
может быть представлена в виде
То есть любой элемент
компактной алгебры Ли
имеет логарифм а в алгебре Ли