Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава 12. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНАВ этой главе мы докажем фундаментальное необходимое условие оптимальности для задач оптимального управления — принцип максимума Понтрягина (ПМП). Чтобы получить бескоординатную формулировку принципа максимума, мы используем технику симплектической геометрии, изложенную в предыдущей главе. Первая классическая версия ПМП была получена 12.1. Геометрическая постановка и обсуждение принципа максимумаРассмотрим задачу оптимального управления, поставленную в параграфе 10.1 для управляемой системы
с начальным условием
Определим семейство функций Гамильтона:
В терминах предыдущей главы
Зафиксируем произвольный момент времени В параграфе 10.2 задача оптимального управления была сведена к исследованию границы множеств достижимости. Сформулируем необходимое условие оптимальности в этой геометрической постановке. Теорема 12.1 (ПМП). Пусть
то существует такая липшицева кривая в кокасательном расслоении
что
для почти всех Если Замечание. Если пара
Действительно, так как допустимое управление
липшицева по
поэтому
Следовательно,
если функция
поэтому
Итак,
и тождество (12.6) доказано. Гамильтонова система принципа максимума
является расширением исходной системы (12.1) на кокасательное пространство. Действительно, в канонических координатах
То есть решение
Прежде чем доказать принцип максимума Понтрягина, обсудим это утверждение. Дадим эвристическое объяснение того, что кривая ковекторов
Рис. 12.1. Опорная гиперплоскость и нормальный ковектор ко множеству достижимости Идея состоит в том, чтобы рассмотреть нормальный ковектор ко множеству достижимости Чтобы построить всю кривую
Легко видеть, что
Действительно, если точка
Далее, диффеоморфизм
Поэтому если
Касательный конус к Несложно получить и условие максимума ПМП. Касательный конус к
т. е. множество векторов, получаемых вариациями управления и вблизи
т. е.
Перенося ковектор потоком
Следующее утверждение демонстрирует силу принципа максимума. Предложение 12.1. Предположим, что максимизированный гамильтониан принципа максимума
определен и Если пара
Обратно: если липшицева кривая Иными словами, в благоприятном случае, когда максимизированный гамильтониан
получаем искомое Доказательство. Покажем, что если допустимое управление
По определению максимизированного гамильтониана
С другой стороны, в силу условия максимума
Поэтому
Но гамильтоново векторное поле получается из дифференциала гамильтониана стандартным линейным преобразованием, поэтому равенство (12.10) доказано. Обратно: пусть
Мы показали выше, что тогда выполняется равенство (12.10). Поэтому пара
|
1 |
Оглавление
|