Глава 24. КАЧЕНИЕ ТЕЛ
В этой главе мы применим теорему об орбите и принцип максимума Понтрягина к инвариантной геометрической модели качения пары твердых тел. Будет решена задача управляемости, в частности, мы покажем, что система вполне управляема тогда и только тогда, когда тела не изометричны. Мы поставим задачу оптимального управления и изучим ее экстремали.
24.1. Геометрическая модель
Рассмотрим два твердых тела в трехмерном пространстве, катящихся одно по другому без проскальзывания и прокручивания, рис. 24.1.
Вместо вложения задачи в
рассмотрим инвариантную геометрическую модель этой системы.
Рис. 24.1. Катящиеся тела
Пусть
суть двумерные связные многообразия — поверхности катящихся тел. Для того чтобы измерять длины кривых на
будем считать, что каждое из этих многообразий риманово, т. е. имеет риманову структуру — скалярное произведение в касательных пространствах, гладко зависящее от точки многообразия:
Более того, мы предполагаем, что
ориентированы (поверхности твердых тел в
ориентированы вектором внешней нормали)
В точках контакта тел
касательные пространства отождествляются с помощью изометрии (т. е. линейного отображения, сохраняющего римановы структуры)
(рис. 24.2).
Мы имеем дело только с сохраняющими ориентацию изометриями и далее будем опускать слова «сохраняющие ориентацию» для упрощения языка. Изометрия
есть состояние системы, и пространство состояний есть связное
-мерное многообразие