7.3. Три свободные точки

Теперь и мы исключаем третью точку с помощью первого условия допустимости (7.3):

Чтобы запретить вырожденные конфигурации, в которых точки коллинеарны, будем считать, что векторы линейно независимы. Поэтому пространство состояний есть

Введем обозначение

Тогда второе условие допустимости (7.4) принимает форму

Оказывается, что при этом условии допустимые скорости должны принадлежать плоскости Это вытекает из следующего предложения.

Лемма 7.1. Пусть векторы удовлетворяют условию

Тогда существует такое, что

Доказательство. Во-первых, можно предположить, что

Действительно, выберем такой вектор что Тогда и

поэтому можно заменить на

Во-вторых, можно нормировать векторы и предположить, что

Наконец, в силу симметричности условий леммы по 77 можно считать, что Тогда

для некоторого вектора

Выберем оператор такой, что

Тогда

т. е. оператор А искомый.

Эта лемма означает, что для любой пары начальных точек все допустимые кривые принадлежат плоскости Поэтому мы рассматриваем ограничение нашей системы на такую плоскость и считаем, что

Итак, получаем следующую систему, описывающую движение трех свободных точек:

Следовательно,

и равенство (7.8) определяет одно линейное уравнение на скорости, т. е. распределение ранга 3 на -мерном многообразии Используя упражнение 7.1, легко видеть, что это распределение порождено следующими тремя линейными векторными полями:

где

Для упрощения формул будем записывать -мерные векторы как -мерные столбцы. Например,

Наше распределение ранга 3 может иметь орбиты размерности 3 или 4. Чтобы выяснить, какая из этих возможностей реализуется, вычислим скобку Ли:

Легко проверяется, что

Мы записываем матрицы порядка 2 как векторы в стандартном базисе пространства

Тогда

Следовательно, поля линейно независимы всюду на т. е. наша управляемая система имеет лишь -мерные орбиты. Поэтому орбиты совпадают с компонентами связности пространства состояний. Многообразие распадается на две связные компоненты, соответствующие положительной и отрицательной ориентации репера (х,у)

Итак, система на имеет две орбиты, поэтому два множества достижимости: Из любой пары линейно независимых векторов достижима любая невырожденная конфигурация для которой и репер ориентирован так же, как .

Возвращаясь к исходной задаче для трех точек получаем, что -мерная линейная плоскость треугольника должна сохраняться так же, как центр масс и ориентация треугольника. Помимо этого, треугольник может вращаться, деформироваться и растягиваться как угодно.

Конфигурации из трех точек, лежащие в разных -мерных плоскостях (или задающие противоположные ориентации в одной и той

же -мерной плоскости), недостижимы друг для друга: множества достижимости из этих конфигураций взаимно не пересекаются. Впрочем, если две конфигурации лежат в -мерных плоскостях, имеющих общую прямую, то пересечение замыканий множеств достижимости непусто: оно состоит из ко линеарных троек, лежащих на одной прямой. Теоретически можно представить движение, переводящее одну конфигурацию в другую: сначала три точки делаются ко линеарными в исходной -мерной плоскости, а затем эта коллинеарная конфигурация переводится в конечную конфигурацию в терминальной -мерной плоскости.