12.5. ПМП для задач с общими граничными условиями

В этом параграфе мы докажем версии принципа максимума Понтрягина для задач оптимального управления, в которых граничные точки траекторий принадлежат заданным многообразиям.

Сначала рассмотрим следующую задачу:

Здесь заданные погруженные подмногообразия пространства состояний То есть граничные точки больше не закреплены, как раньше, а принадлежат соответственно подмногообразиям

Если траектория оптимальна в этой задаче, то она оптимальна и в задаче с закрепленными граничными точками рассмотренной в параграфе 12.4. Следовательно, для траектории должно выполняться утверждение теоремы 12.3. Однако теперь требуются дополнительные условия, позволяющие выбрать граничные точки Естественно ожидать, что такие условия должны определяться скалярными условиями. И эти условия можно легко сформулировать в гамильтоновых терминах, они называются условиями трансверсальности, см. (12.34) ниже.

Теорема 12.4. Пусть управление , оптимально в задаче (12.26)-(12.29). Определим семейство гамильтонианов:

Тогда существуют липшицева кривая и число такие, что:

Замечания. (1) Любой линейный функционал на линейном пространстве естественно ограничивается на любое подпространство, поэтому условия трансверсальности (12.34) расшифровываются соответственно так:

(2) Задача со свободным временем (12.26), (12.27), (12.29), сводится к случаю закрепленного так же, как в параграфе 12.4, поэтому для такой задачи справедлива предшествующая теорема с дополнительным условием

Рис. 12.2. Условия трансверсальности (12.34)

Докажем теорему 12.4.

Доказательство. Схема доказательства ПМП, использованная нами для теорем 12.1, 12.3, применима после соответствующих модификаций к гораздо более общим задачам. Ниже мы только укажем, как нужно изменить доказательства этих теорем, чтобы охватить новые граничные условия

Сначала рассмотрим частный случай, когда начальная точка закреплена: пусть

для некоторой точки

Как и при доказательстве теоремы 12.3, введем расширенную систему на

Далее, в случае закрепленной конечной точки необходимое условие оптимальности траектории было следующим:

Здесь множество достижимости расширенной системы (12.35) и

Теперь, когда конечное многообразие больше не является точкой, нужно изменить рассуждения. В некотором смысле мы сведем конечное многообразие к точке, задавая его локально уравнением Выберем такую субмерсию

малой окрестности что

Далее, расширим субмерсию: определим отображение

Так как управление оптимально в нашей задаче то

Поэтому мы заменяем необходимое условие оптимальности (12.36) на (12.37) и возвращаемся к схеме доказательства теорем 12.1, 12.3.

Возьмем любое к и любую игольчатую вариацию (12.14) оптимального управления:

Определим отображения

Из включения (12.37) следует, что

По лемме 12.1

поэтому существует опорная плоскость, т. е. такое, что

Вычисляем эту производную по правилу цепочки:

и переписываем неравенства (12.41) в следующем виде:

Затем обозначаем ковектор

и получаем условия (12.30)-(12.33) в точности, как в теореме 12.3.

Единственное отличие — в том, что теперь ковектор А не может быть произвольным: из равенства (12.44) следует второе из условий трансверсальности (12.34). Действительно, имеем

поэтому

Первое из условий трансверсальности (12.34) сейчас тривиально выполняется, и теорема в случае доказана.

Теперь пусть начальное многообразие является произвольным погруженным многообразием в Построенную выше схему доказательства можно модифицировать, чтобы покрыть и этот случай. Так как теперь начальная точка не фиксирована, нужно добавить вариации

Вместо отображений (12.38), (12.39) рассмотрим следующие:

где Тогда необходимое условие оптимальности (12.40) заменяется включением

Применим лемму 12.1 к ограничению отображения на пространство

где малая окрестность точки Согласно замечанию после леммы 12.1 из включения (12.45) следует, что

т. е. существует ковектор

для которого

В первом неравенстве принадлежит линейному пространству, поэтому оно обращается в равенство:

По правилу Лейбница вычислим производную

Имеем

При вычислении производной мы применили формулу (2.19) к потоку

Теперь условия (12.47), (12.46) записываются в виде

Определим, как и раньше, ковектор равенством (12.44), тогда утверждения (12.30)-( 12.33) данной теоремы и второе из условий трансверсальности (12.34) будут доказаны.

Первое условие трансверсальности также выполняется: равенство (12.48) можно переписать в виде

Но поэтому

Теорема полностью доказана.

Рассмотрим еще более общую задачу — задачу со смешанными ограничениями (включение (12.50) ниже). Принцип максимума Понтрягина обобщается и на этот случай, как по формулировке, так и по доказательству.

Изучим задачу оптимального управления вида

где гладкое погруженное подмногообразие в

Теорема 12.5. Пусть управление и оптимально в задаче (12.49)-(12.52). Тогда выполняются все утверждения теоремы 12.4, кроме ее условий трансверсальности (12.34), которые теперь заменяются условием

Замечания. (1) Мы отождествляем

поэтому условие трансверсальности (12.53) имеет смысл.

(2) Важный частный случай смешанных граничных условий (12.50) есть случай периодических траекторий:

Действительно, в этом случае

есть диагональ квадрата Тогда условие трансверсальности (12.53) имеет вид

т. е.

Иными словами, оптимальная траектория в задаче с периодическими граничными условиями (12.54) имеет периодический гамильтонов лифт (экстремаль).

Докажем теорему 12.5.

Доказательство. Сведем нашу задачу к случаю раздельных граничных условий, вводя вспомогательную задачу на

(диагональ А определена в (12.55) выше),

Очевидно, что эта задача эквивалентна нашей задаче (12.49)-(12.52). Применим одну из версий ПМП (теорему 12.4) ко вспомогательной задаче. Гамильтониан такой же, как и для исходной задачи:

Соответствующая гамильтонова система есть

Все утверждения ПМП для задачи со смешанными граничными условиями получаются непосредственно, нужно только проверить условия трансверсальности.

В начальный момент первое из условий (12.34) имеет вид

т. е.

или, с учетом первого из уравнений (12.56),

А в конечный момент

т. е.

что совпадает с условием трансверсальности (12.53).

Замечания. (1) Разумеется, если конечное время свободно, то к утверждениям теоремы 12.5 добавляется условие

(2) Принцип максимума Понтрягина выдерживает и дальнейшие обобщения для более широких классов функционалов и граничных условий. После некоторой модификации рассуждений общая схема дает необходимые условия оптимальности для более общих задач.