12.2. Доказательство принципа максимума Понтрягина

Начнем с двух вспомогательных утверждений. Обозначим положительный ортант в через

Лемма 12.1. Пусть вектор-функция липшицева, и дифференцируема в 0:

Предположим, что

Тогда для любой окрестности начала координат имеем

Замечание. Утверждение предыдущей леммы остается в силе, если заменить ортант на произвольный выпуклый конус

Приведенное ниже доказательство проходит в этом случае без изменений.

Доказательство. Выберем любые точки порождающие n-мерный симплекс с центром в нуле:

Из сюръективности отображения и выпуклости положительного ортанта легко следует, что ограничение на внутренность также сюръективно:

Точки аффинно независимы в поэтому их прообразы также аффинно независимы в Среднее арифметическое

принадлежит и удовлетворяет равенству

Далее, подпространство

n-мерно. В силу включения можно найти n-мерный шар достаточно малого радиуса 5 с центром в нуле такой, что

Так как имеем т. е. линейное отображение обратимо.

Рассмотрим следующее семейство отображений:

По условию предложения

поэтому

В силу липшицевости отображения все отображения также липшицевы с общей константой. Следовательно, семейство равностепенно непрерывно. Равенство (12.11) означает, что

поточечно, поэтому равномерно.

Следовательно, непрерывное отображение равномерно близко к тождественному отображению, а разность равномерно близка к нулевому отображению. Для любого достаточно близкого к началу координат, непрерывное отображение

переводит множество в себя. По теореме Брауэра о неподвижной точке у этого отображения существует неподвижная точка

т. е.

Получаем включение следовательно, для малых

Начнем построение выпуклой аппроксимации множества достижимости в точке Возьмем любое допустимое управление и выразим конечную точку соответствующей траектории по формуле вариаций (2.28):

Введем следующее векторное поле, зависящее от двух параметров:

Мы показали, что

Заметим, что

Лемма 12.2. Пусть есть множество точек Лебега управления Если

то

Замечание. Множество и есть локальная выпуклая аппроксимация множества достижимости В точке

Напомним, что точка , называется точкой Лебега функции и если

В точках Лебега функции и интеграл дифференцируем и

Множество точек Лебега имеет полную меру в области определения Подробное изложение этого вопроса читатель может найти, например, в [147].

Докажем лемму 12.2.

Доказательство. Можно выбрать векторы

так, чтобы они порождали как положительный выпуклый конус все касательное пространство:

и чтобы при этом точки были различными: Действительно, если для некоторых то можно подобрать достаточно близкую точку Лебега так, чтобы разность была сколь угодно малой. Это возможно, так как для любых и любых

Будем считать, что

Определим семейство вариаций управления, совпадающее вблизи точек а вдали от этих точек — с управлением (такие вариации называются игольчатыми).

А именно, для любых рассмотрим управление вида

При малых отрезки не пересекаются, так как По формуле (12.13) конец траектории, соответствующей

построенному управлению, выражается следующим образом:

Отображение

липшицево, дифференцируемо при и

По лемме 12.1

для любой окрестности Но кривая является допустимой траекторией при малых поэтому

Теперь мы можем доказать принцип максимума Понтрягина в геометрической формулировке — теорему 12.1.

Доказательство. Предположим, что конец траектории

По лемме 12.2 начало координат принадлежит границе выпуклого множества следовательно, это множество имеет опорную гиперплоскость в нуле: существует

такое, что

Учитывая определение (12.12) поля перепишем это неравенство в следующем виде:

т. е.

Действие потока на ковекторы определяет кривую в кокасательном пространстве:

Используя эту кривую ковекторов, приведенное выше неравенство можно переписать как

Поэтому вдоль выбранной траектории выполняется условие максимума ПМП (12.5):

По предложению 11.3 кривая есть траектория неавтономного гамильтонова потока с функцией Гамильтона

поэтому она удовлетворяет гамильтоновой системе принципа максимума (12.4)