12.4. ПМП для задач оптимального управления

Применим принцип максимума в геометрической форме к задачам оптимального управления, начиная с задач с закрепленным временем. Для управляемой системы

с граничными условиями

и функционалом

рассмотрим задачу оптимального управления

Преобразуем эту задачу, как в параграфе 10.2. Расширим пространство состояний:

определим расширенное векторное поле

и получим новую управляемую систему

с граничными условиями

Если управление оптимально для задачи (12.17)-(12.21), то траектория расширенной системы (12.22), начинающаяся в удовлетворяет условию

где множество достижимости системы (12.22) из точки до за время Поэтому применима теорема 12.1.

Однако принцип максимума в геометрической форме для расширенной системы (12.22) не различает минимумов и максимумов функционала Чтобы получить условия, справедливые только

для минимума, введем новый управляющий параметр и рассмотрим новую систему

Траектория системы (12.23), соответствующая управлениям попадает на границу множества достижимости этой системы за время Применим теорему 12.1 к системе (12.23). Имеем

Гамильтониан системы (12.23) имеет вид

а гамильтонова система принципа максимума записывается как

Здесь гамильтоново поле с гамильтонианом

Первое из уравнений (12.24) означает, что вдоль оптимальной траектории.

Условие максимума имеет вид

Так как этот максимум достигается, имеем

поэтому можно положить в правой части условия максимума:

Итак, доказано следующее утверждение.

Теорема 12.3. Пусть управление оптимально для задачи

Определим гамильтониан

Тогда существует нетривиальная пара

для которой выполняются следующие условия:

Замечания. (1) Если вместо задачи на минимум (12.21) рассматривается задача на максимум, то предыдущее неравенство для у нужно обратить:

(2) Для задачи со свободным временем (12.17), (12.18), (12.20), (12.21), необходимые условия оптимальности ПМП такие же, как в теореме 12.3, плюс одно дополнительное скалярное равенство (упражнение).

Для постоянного параметра у в теореме 12.3 имеются две возможности:

а) если то кривая называется нормальной экстремалью. Так как пару можно умножить на любое положительное число, мы можем нормировать и считать, что в нормальном случае

б) если то А есть анормальная экстремаль.

Итак, можно всегда считать, что или

Теперь рассмотрим задачу быстродействия:

Принцип максимума Понтрягина для задачи быстродействия имеет следующую форму.

Следствие 12.1. Пусть управление оптимально быстродействию. Определим гамильтониан

Тогда существует липшицева кривая

для которой выполняются следующие условия для почти всех

Доказательство. Применим теорему 12.3 и второе замечание после нее, полагая Отсюда сразу получаем гамильтонову систему и условие максимума для задачи быстродействия. Неравенство (12.25) равносильно условиям

Наконец, неравенство получаем следующим рассуждением: если то поэтому Но пара должна быть нетривиальной, следовательно,