Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
21.1. Регулярный случай: вывод уравнения ЯкобиПредложение 21.1. Пусть Тогда квадратичная форма Доказательство. По усиленному условию Лежандра норма
эквивалентна стандартной
где Сначала докажем, что квадратичная форма
Линейное отображение имеет конечномерный образ, поэтому
Семейство
при малых
Тогда
Теперь покажем, что
С помощью рассуждений, аналогичных использованным при доказательстве предложения 16.2 (при изучении сопряженных точек в линейно-квадратичной задаче), показываем, что функция
удовлетворяет следующим свойствам: Неравенство (21.1) означает, что
что
Учитывая неположительность квадратичной формы Предложение 21.1 мотивирует введение следующего важного понятия. Момент Начинаем вывод дифференциального уравнения, позволяющего находить сопряженное время для регулярной экстремальной пары
будет пространством состояний этого уравнения. Введем семейство отображений
В этих обозначениях билинейная форма
(см. (20.18), (20.19)). Рассмотрим форму
где
есть вертикальное подпространство. Вариация управления
тогда и только тогда, когда линейная форма
Итак, получаем, что
Преобразуем равенство форм (21.6):
Это равенство форм означает, что подынтегральные выражения должны совпадать:
Используя кривую в пространстве
равенство форм (21.7) можно переписать следующим образом:
Из усиленного условия Лежандра следует, что линейное отображение
невырождено (мы обозначаем здесь и ниже линейное отображение в сопряженное пространство тем же символом, что и соответствующее квадратичное отображение), поэтому определено обратное отображение
Тогда равенство (21.9) записывается как
Получаем следующее утверждение. Теорема 21.1. Пусть Момент
удовлетворяющее граничным условиям
Уравнение Якоби (21.11) есть линейная неавтономная гамильтонова система
с квадратичным гамильтонианом
где Доказательство. Мы уже доказали, что существование Если
Но Остается доказать, что
Тогда уравнение Якоби записывается как
т. е. мы должны доказать, что
Так как
то получаем
Поэтому равенство (21.14) доказано, как и вся теорема.
|
1 |
Оглавление
|