20.3. Дифференцирование отображения в конец
В этом параграфе мы вычислим дифференциал и гессиан отображения в конец для управляемой системы
с правой частью 
гладкой 
Мы исследуем отображение в конец
в окрестности фиксированного допустимого управления
Так же, как в доказательстве принципа максимума (см. параграф 12.2), из формулы вариаций следует разложение потока:
где
Далее, введем промежуточное отображение
Тогда
следовательно,
поэтому дифференцирование 
сводится к дифференцированию 
Мы вычислим производные отображения 
с помощью асимптотического разложения хронологической экспоненты:
Введем еще несколько обозначений:
Тогда дифференциал (первая вариация) отображения 
равен
Управление 
есть критическая точка 
(или, что эквивалентно, 
тогда и только тогда, когда существует такой множитель Лагранжа
что
т. е.
Перенося ковектор 
вдоль исследуемой траектории
получаем кривую ковекторов
являющуюся траекторией гамильтоновой системы
(предложение 11.3). Тогда
Мы показали, что и есть критическая точка отображения в конец 
тогда и только тогда, когда существует такая кривая ковекторов
что
В частности, любая понтрягинская экстремаль есть критическая точка отображения в конец. Из принципа максимума Понтрягина следуют условия оптимальности первого порядка (20.16), (20.17). Отметим, что ПМП содержит больше, чем эти условия: согласно ПМП гамильтониан 
не только критичен, как в (20.17), но достигает максимума вдоль оптимального управления 
Обратимся к условиям второго порядка.
Из асимптотического разложения (20.15) следует выражение для второго дифференциала:
где
т. е.
Преобразуем эту формулу для второй вариации с помощью следующего разложения на симметричную и кососимметричную части.
Упражнение 20.4. Пусть 
неавтономное векторное поле на 
Тогда
Полагая 
и учитывая, что 
получаем
поэтому
Первый член удобно выражается в гамильтоновых терминах, так как
Тогда
Для того чтобы записать и второй член этого выражения в гамильтоновых терминах, вычислим линейный на слоях гамильтониан, соответствующий векторному полю 
где производные по и берутся при 
Вводя гамильтониан
можно записать второй член выражения (20.18) для второй вариации в следующем виде:
Здесь производные 
берутся при 
