Глава 14. ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ С ВЫПУКЛЫМИ ГАМИЛЬТОНИАНАМИ

Хорошо известна теорема о том, что если поверхность уровня гамильтониана выпукла, то она содержит периодическую траекторию соответствующей гамильтоновой системы [144, 149]. В этой главе мы докажем более общий результат с помощью теории оптимального управления для линейных систем.

Теорема 14.1. Пусть есть сильно выпуклое компактное подмножество четно, и пусть граница множества является поверхностью уровня гамильтониана

Тогда для любого существует параллельная вектору хорда в через концы которой проходит некоторая траектория гамильтоновой системы

Мы считаем, что на пространстве задана стандартная симплектическая структура

т. е. гамильтоново векторное поле, соответствующее гамильтониану имеет вид

Теорема о периодических траекториях гамильтоновых систем есть частный случай приведенной выше теоремы при Докажем теорему 14.1.

Доказательство. Не теряя общности, будем считать, что

Рассмотрим поляру множества

Из теоремы отделимости следует, что

а есть сильно выпуклое компактное подмножество

Введем следующую линейную задачу оптимального управления:

Здесь любые точки в достаточно близкие к нулю и такие, что вектор параллелен По теореме Филиппова эта

задача имеет оптимальные решения. Мы используем эти решения для построения искомой траектории гамильтоновой системы на

Зависящий от управления гамильтониан принципа максимума имеет вид

Покажем сначала, что анормальные траектории не могут быть оптимальными. Пусть Тогда присоединенное уравнение есть поэтому

Условие максимума ПМП записывается как

В силу сильной выпуклости поляры имеем

Следовательно, анормальные траектории суть прямые со скоростями, отделенными от нуля. Если взять точки достаточно близкими к нулю, то анормальные траектории не смогут удовлетворить граничным условиям.

Поэтому оптимальные траектории нормальны, и можно положить Нормальный гамильтониан равен

а соответствующая гамильтонова система имеет вид

Нормальный гамильтониан можно записать как

где вектор у удовлетворяет уравнению

Вдоль нормальной траектории

Рассмотрим сначала случай Тогда

т. е. Более того, а вектор есть нормаль к в точке Следовательно, кривая с точностью до перепараметризации является траекторией гамильтонова поля

Граничные условия выполняются:

Поэтому есть искомая траектория: хорда параллельна вектору

Для завершения доказательства покажем, что случай в (14.2) невозможен. Действительно, если то поэтому Если а то не выполняются граничные условия для Если же пара не реализует минимум функционала (14.1), который может принимать отрицательные значения: для любой допустимой -периодической траектории траектория периодична и имеет критерий качества