§ 11.3. КОГОМОЛОГИИ И ГОМОЛОГИИ

Какова связь между группами гомологий и когомологий для компактного многообразия? Можно показать, что из-за дуальности этих групп их размерности совпадают. Определим числа Бетти как размерности групп Н:

Пусть набор циклов, определенных на компактном многообразии М. Пусть набор определенных на М замкнутых форм. Теперь введем матрицу

Матрица называется матрицей периодов (см. (5.6.31) и (5.11.8)), и при достаточно общих предположениях можно показать, что эта матрица обратима. Поэтому она является -матрицей с ненулевым детерминантом. Но если матрица периодов является квадратной матрицей, действующей в пространстве измерений, то размерность пространства замкнутых форм со равна размерности пространства циклов что доказывает совпадение чисел Бетти для групп гомологий и когомологий. Это очень важный результат, потому что он означает, что можно использовать либо локальные (когомологии), либо глобальные (гомологии) свойства заданного многообразия для подсчета его чисел Бетти.

Важно также понимать, что числа Бетти являются топологическими числами, зависящими только от топологии многообразия. Таким образом, любая линейная комбинация чисел Бетти также является топологическим числом. В частности, наиболее важным среди них является эйлерова характеристика:

Для того чтобы понять свойства чисел Бетти, введем несколько операторов, в том числе лапласиан. Введем оператор Ходжа преобразующий -формы в -формы:

где является полностью антисимметричным тензором в пространстве измерений. Заметим, что

В -мерном пространстве внешнее произведение -формы и

-формы дает -форму, пропорциональную форме объема Таким образом, можно брать интеграл от внешнего произведения формы и -формы и получать вещественное число. Определим еще одно внутреннее произведение:

Введение определения скалярного произведения форм тотчас же позволяет нам определить оператор , сопряженный к оператору внешнего дифференцирования:

В явном виде сопряженный к оператор дается формулой

Мы также имеем

Отметим, что сопряженный оператор уменьшает степень дифференциальной формы на единицу, в то время как увеличивает ее на единицу. Определим теперь лапласиан как

Определим гармонические -формы условием:

Определим козамкнутые -формы условием:

Говорим, что -форма является коточной, если она может быть записана в виде

для некоторой -формы а.

Теперь мы можем сформулировать следующую важную теорему.

Теорема Ходжа. На компактном многообразии без края любая Рформа может быть единственным образом разложена на сумму точной, коточной и гармонической форм, т. е.

где - гармоническая форма.

Это сильный результат, поскольку можно показать, что каждый Когомологический класс содержит только одну гармоническую форму.

Чтобы увидеть это, построим сначала внутреннее произведение формы и лаплассиана от нее:

Таким образом, утверждение о гармоничности формы (которое дает ) эквивалентно точности и коточности формы (так как ). Действительно, можно показать, что

Но если то это означает, что и поэтому Следовательно, (11.3.14) редуцируется к

Таким образом, в каждом классе когомологий содержится единственный гармонический представитель.

Тот факт, что в каждом классе эквивалентности точных форм содержится один гармонический представитель, позволяет по-другому определить числа Бетти. Мы можем также сказать, что числа Бетти подсчитывают, сколько независимых гармонических форм существует на данном многообразии. Получаем следующее эквивалентное описание чисел Бетти:

Тем самым мы можем использовать любой из этих эквивалентных формализмов для вычисления чисел Бетти.

Последняя формулировка чисел Бетти (через независимые гармонические формы) дает нам еще одно определение. Множество гармонических форм можно рассматривать как ядро лаплассиана (т. е. те формы, которые этот оператор отображает в нуль). Итак, числа Бетти можно определить так:

Как мы увидим, полезно изучить свойства некоторых из этих чисел Бетти. Во-первых, всегда можно определить скалярное произведение для -мерного многообразия:

Поэтому эти два пространства содержат одинаковое число независимых

элементов. Следовательно,

Изоморфизм пространств и называется дуальностью Пуанкаре. Обычно мы будем брать тогда и

Другой способ доказательства дуальности Пуанкаре связан с тем обстоятельством, что если выбрана гармоническая форма, то и дуальная форма также является гармонической:

Поскольку число независимых гармонических форм равно числу Бетти, а оператор Ходжа переводит -формы в -формы, то мы снова получаем дуальность Пуанкаре.

Наконец, если мы имеем произведение многообразий, тогда эйлерова характеристика произведения многообразий равна произведению эйлеровых характеристик каждого многообразия:

Если переписать это через числа Бетти согласно (11.3.3), то получим

так называемую форму Кюннета для произведения многообразий.

Возьмем теперь несколько простейших поверхностей и вычислим их числа Бетти.

(1) Двумерный тор

Двумерный тор может быть разбит на циклы при помощи двух разрезов. Число независимых -циклов, которые можно натянуть на тор, равно двум. Итак, Далее, согласно дуальности Пуанкаре, имеем

Таким образом, эйлерова характеристика (11.3.3) тора равна

(2) Риманова поверхность

Как было показано в гл. 5, существует разрезов, которыми можно разделить риманову поверхность рода на независимые циклы. Каждой дырке или ручке соответствуют два таких цикла. Следовательно, . Имеем

Таким образом, эйлерова характеристика замкнутой римановой поверхности равна

(3)    N-сфера

Циклы на сфере конечно, всегда могут быть стянуты в точку. Поэтому на не существует независимых циклов. Следовательно,

Для эйлеровой характеристики получаем

В частности, поскольку

можно использовать правило произведения эйлеровых характеристик и показать, что эйлерова характеристика тора равна

что согласуется с приведенным выше вычислением.

(4) Произведение сфер

Используя (11.3.24), можно показать, что для произведения числа Бетти суть

Мы находим, что эйлерова характеристика равна нулю, как и следовало ожидать, поскольку эйлерова характеристика трехмерной сферы также равна нулю:

Аналогично можно взять произведение числа Бетти которого равны

Для эйлеровой характеристики получаем

(5) Четырехмерный тор

Можно представить -мерный тор как

В качестве простого упражнения можно показать, что формула Кюннета (11.3.24) для произведения многообразий дает

Подставляя полученные числа Бетти в формулу для эйлеровой характеристики, находим

как и следовало ожидать.

(6) Шестимерный тор

Для шестимерного тора имеем

Поэтому мы можем использовать формулу Кюннета для нахождения чисел Бетти произведения многообразий. Легко показать, что

Отсюда получаем, что эйлерова характеристика равна нулю:

Это следует также и из того факта, что каждый цикл в имеет нулевую эйлерову характеристику. Используя сформулированные выше простые правила, можно легко получить числа Бетти для

(7) Вещественное и комплексное проективные пространства

Пространство получается, если взять обычное комплексное -мерное пространство и отождествить

для некоторого ненулевого комплексного числа X. Это отождествление превращает комплексное -мерное пространство в комплексное проективное -мерное пространство. является обобщением вещественного проективного пространства которое получается после отождествления точек в -мерном вещественном пространстве по формуле

для некоторого ненулевого вещественного к. Пространство можно также получить отождествлением противоположных точек сферы Примерами вещественных и комплексных проективных пространств служат

Числа Бетти для них будут следующими:

и

Следовательно,