§ 2.10. РЕЗЮМЕ

Первично квантованная теория струн обладает замечательным сходством с теорией точечных частиц, отличаясь от нее главным образом нетривиальным добавлением калибровочных симметрий, представляющих

репараметризационную инвариантность мировой поверхности. Как и в теории точечных частиц (см. (1.4.16)), у нас имеется три эквивалентные формы действия для струны:

Форма порядка (гамильтонова):

Форма порядка:

Нелинейная форма:

Вкратце перечислим черты сходства случая точечных частиц и теории струн, выраженные на языке континуального интеграла:

Наша стратегия квантования действия струны такова: выписать симметрии теории, извлечь из них токи, вычислить алгебру, которой эти токи подчиняются, а затем применить их к гильбертову пространству, чтобы уничтожить духи. Стратегия, которой мы следуем всюду в этой книге, это

Все три формы действия обладают репараметризационной симметрией, которая порождает алгебру Вирасоро:

Алгебра, порождаемая этими операторами, есть

Как и в случае точечной частицы, существует три способа квантования теории.

Квантование Гупты-Блейлера

В формализме Гупты-Блейлера мы фиксируем калибровку

и полученное действие нарушает репараметризационную инвариантность, но сохраняет инвариантность относительно подгруппы конформных преобразований:

Этот лагранжиан, конечно, допускает распространение духовых состояний с отрицательной метрикой, связанных с времениподобной модой переменной X. Чтобы их уничтожить, в методе квантования Гупты-Блейлера постулируется, что векторы состояний должны удовлетворять условиям

Это значит, что ограничения строятся таким образом, чтобы они обращались в нуль на гильбертовом пространстве.

Хотя действие в этом формализме выглядит весьма изящно, но за это приходиться расплачиваться: уничтожение духов на векторах состояния довольно затруднительно, особенно для петлевых диаграмм. Фактически необходим обширный математический аппарат, чтобы доказать возможность полного уничтожения духов в этой калибровке.

Квантование в переменных светового конуса

В рамках этого формализма положим

Преимущество этого подхода - возможность устранить все избыточные Духовые моды с самого начала, рассматривая только поперечные составляющие. Недостаток его в том, что формализм неуклюж и мы Должны на каждом шаге заново устанавливать лоренц-инвариантность. Удивительная особенность - то, что лоренцевы генераторы теории с нарушенной симметрией образуют замкнутую систему только в 26 измерениях. Конкретнее, трудность представляет коммутатор

где

Чтобы этот коммутатор обратился в нуль, должно выполняться

Квантование BRST

Метод BRST сочетает лучшие черты обоих предыдущих. Лоренц-ковариантность действия сохраняется, но состояния с отрицательной метрикой нас больше не беспокоят, так как они взаимно уничтожаются духами, циркулирующими в теории из-за детерминанта Фаддеева-Попова. Беря экспоненту от этого определителя, мы должны ввести два антикоммутирующих духовых поля . Полученное в результате действие с фиксированной калибровкой все еще обладает остаточной симметрией, порождаемой BRST-зарядом

Фиксация

задает значение интерсепта, равное единице, и размерность пространства-времени, равную 26. Физические состояния теории определяются условием

Как и в теории точечных частиц, взаимодействия вводятся суммированием по всем топологически различным конфигурациям в континуальном интеграле. Основополагающее функциональное уравнение для теории со взаимодействиями, из которого выводятся все результаты этой главы, дается формулой

Эту амплитуду можно вычислить в явном виде в конформной

калибровке, используя тождество

В конформной калибровке сумма по топологиям дается суммой по всем конформно неэквивалентным конфигурациям. Если мы рассмотрим конформные преобразования, отображающие верхнюю полуплоскость на себя и вещественную ось на себя, то точки вещественной оси отображаются согласно проективной группе преобразований

где коэффициенты вещественны и удовлетворяют условию Это фиксирует меру так что формула для -точечной функции принимает вид

где упорядочены вдоль вещественной оси.

Переход к формализму гармонических осцилляторов нетруден, так как в конформной калибровке гамильтониан диагонален на фоковском пространстве осцилляторных мод. Пропагатор перехода от конфигурации есть

Вертекс равен

Мы можем устранить все собственные состояния струны, потому что

Итак, -точечная функция равна

В операторном формализме проективная инвариантность может быть установлена с помощью того факта, что операторы порождают проективную группу Действительно, при любом конформном преобразовании вертексы преобразуются как

или

Мы будем говорить, что вертекс К имеет конформный вес, равный

Наконец, мы можем явным образом построить операторы, порождающие только физические состояния с нулевой или положительной нормой. Предыдущее тождество показывает, что операторы с конформным спином, равным 1, автоматически коммутируют с генераторами алгебры Вирасоро. Это позволяет нам построить операторы, основанные на вертексе безмассовой частицы со спином единица, которые породят физическое пространство. Можно построить три набора взаимно коммутирующих операторов, которые в совокупности порождают все фоковское пространство гармонических осцилляторов:

Беря только состояния, построенные из и опуская мы получим новое фоковское пространство, все состояния которого имеют положительные или нулевые нормы. Итак, множество состояний, удовлетворяющих условиям

не содержит состояний с отрицательной нормой в 26 измерениях.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)