§ 4.9. РЕЗЮМЕ

Крупное преимущество суперконформной теории поля состоит в том, что она сочетает лучшие черты моделей NS-R и GS. Она явно ковариантна, целиком построена на свободных полях, обладает ковариантным суперсимметричным генератором, имеет спиновые поля свесом 5/8, фермионные вершинные функции с весом 1, и с ней легко работать.

У конформной теории поля есть, однако, два недостатка. Во-первых, нам приходится тщательно следить за многочисленными бозонизированными духами. К счастью, эти духи являются свободными полями и Действуют в других гильбертовых пространствах. Во-вторых, у нас имеется бесконечно много «картин». К счастью, итоговая -матрица не зависит от выбора «картины».

Сущность конформной теории поля состоит в том, что мы можем вычислить корреляционные функции различных полей, зная лишь их доведение на коротких расстояниях и то, как они преобразуются. Например, корреляционная функция

может быть вычислена, есди мы знаем поведение двух струнных полей.

Одно из достижений конформной теории поля - построение фермионной вершинной функции с конформным весом 1. Эта функция зависит от спинового поля которое должно преобразовываться как настоящий спинор под действием лоренцевой группы

Другие соображения, вроде того, что поле имеет размерность позволяют фиксировать соотношения

Если нам полностью известно поведение спинового поля на коротких расстояниях, мы можем построить вершинную функцию с весом 1. Нам нужен еще один фактор с весом 3/8, происходящий из духового сектора теории:

где

Духовый сектор можно бозонизировать в соответствии с формулами

Это позволяет, наконец, написать вершинную функцию с конформным весом 1 на массовой поверхности:

Ее конформный вес равен

Чтобы выписать амплитуды, которые могли бы сократиться с вершинным оператором с индексом — нам нужна соответствующая вершинная функция с индексом которая дается выражением

Располагая этими двумя вершинными функциями, мы можем теперь построить многофермионные амплитуды рассеяния.

Один из недостатков этого формализма - то, что у нас имеете бесконечно много вакуумных состояний и, следовательно, бесконечно

много вершинных функций. Эти вакуумные состояния можно построить следующим образом:

Это позволяет построить бесконечную серию фермионных вершинных функции. Например, любое из выражений

можно взять в качестве приемлемой вершинной функции с весом 1. Такое чрезмерное изобилие смущает. Однако можно показать, что по крайней мере на массовой поверхности все эти функции эквивалентны. Поэтому мы можем выбрать по желанию любую из них и построить фермион-фермионные амплитуды рассеяния.

Одно из крупных преимуществ этого формализма состоит в том, что теперь мы можем построить генератор суперсимметрии, который является просто вершинной функцией, проинтегрированной по переменной Фактически мы получаем бесконечно много неэквивалентных операторов суперсимметрии и все они на массовой поверхности эквивалентны:

Наконец, можно получить последовательную целостную картину конформной теории поля, если рассматривать ее как один из способов вычисления матричных элементов для бесконечномерных алгебр Каца-Муди и суперконформной алгебры. Алгебра Каца-Муди обладает коммутационными соотношениями

в которых все суть структурные постоянные конечномерной алгебры Ли. Для алгебр уровня 1 с простыми связями можно построить базисное Представление алгебры Каца-Муди. Это базисное представление дается языке вершинных операторов, впервые полученных в теории струн. В указанном формализме спиновые поля и -поля NS-R-модели можно рассматривать как спинорное и векторное представления -алгебры Каца-Муди, а различные духовые поля - как различные представления суперконформной алгебры. Корреляционные функции тогда можно считать коэффициентами Клебша-Гордона для комбинированной алгебры, включающей -алгебру Каца-Муди и суперконформную алгебру.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)