§ 2.6. ОТ КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА К ОПЕРАТОРАМ

Мы использовали для вычисления -точечной амплитуды функциональные методы. Единственной нетривиальной частью вычисления было интегрирование по конформно неэквивалентным двумерным комплексным поверхностям, которое определяет меру интегрирования амплитуды.

То же самое вычисление можно выполнить с помощью формализма гармонических осцилляторов, который, как мы подчеркивали, является лишь специфическим представлением континуального интеграла, для которого гамильтониан диагонален. Для деревьев и первой петли метод гармонических осцилляторов весьма прост, поскольку гамильтониан диагонален на фоковском пространстве гармонических осцилляторов. Однако для высших петель это уже не так: метод гармонических осцилляторов становится все более трудоемким и непрактичным. Континуальный интеграл поэтому обеспечивает единственный систематический способ изучения амплитуд высших петель с относительной простотой. (Вычисление аномалий, однако, легче провести в формализме гармонических осцилляторов, где целочисленный индекс служит параметром обрезания теории. В формализме континуального интеграла приходится использовать метод расщепления точки и другие способы регуляризации, как мы увидим в гл. 5.)

Мы знаем, что в функциональном формализме пропагатор для свободных струн дается формулой

Подобным образом нам известно, что в результате вставки в

континуальный интеграл полного набора промежуточных состояний вертексная функция тахиона принимает вид

где

Вследствие тождества

мы можем исключить все континуальные интегралы из -точечной функции и совершить переход от формализма континуального интеграла к формализму гармонических осцилляторов. Для примера начнем с выражения для -точечной тахионной амплитуды в формализме континуального интеграла и подставим в него соответствующие формулы в терминах гармонических осцилляторов:

Некоторые моменты в этом выводе требуют пояснения. Во-первых, в формализме континуального интеграла мы обнаруживаем необходимость исключить вклад члена с в подынтегральное выражение (2.5.10). Подобным образом нам также придется проделать обрезание в формализме гармонических осцилляторов. Выражение для вертексной функции (2.6.2) формально становится бесконечным при переходе к гармоническим осцилляторам. Например, если мы бесхитростно возьмем вакуумное среднее от экспоненты, то мы получим расходящуюся сумму. Нормально упорядоченное выражение - вот то, что нам нужно; его матричные элементы конечны. Возьмем экспоненциальную функцию от

(Нормальное упорядочение состоит в переносе всех операторов рождения (уничтожения) налево (направо), чтобы матричные элементы получившегося оператора были конечными.)

Во-вторых, при переходе от континуальных интегралов к операторам мы использовали тот факт, что гамильтониан является генератором

сдвигов по . Выражение действует как эффективный гамильтониан для горизонтальных смещений в комплексной плоскости. Оказывается полезной следующая формула:

для любой функции Так, мы можем определить

Мы использовали это выражение при переходе от континуальных интегралов к гармоническим осцилляторам, когда мы преобразовали вертексные функции в в вертексные функции в начале координат.

В-третьих, в приведенном выше выводе формализма гармонических осцилляторов мы ввели вакуумное состояние Заметим, что функциональный формализм начинался с представления мировой поверхности взаимодействующих струн в виде бесконечной полосы шириной , горизонтально расположенной на комплексной плоскости. Внешние линии располагались вдоль вещественной оси. Поэтому результат воздействия струны, приходящей из отрицательной (положительной) бесконечности, соответствует функциональному интегралу по полубесконечной полосе. Так, вакуумное состояние есть функциональный интеграл теории струн по полубесконечной полосе. Мы можем представить тахионный вакуум с импульсом к следующим образом:

где

Собирая все вместе, мы можем теперь преобразовать континуальный интеграл к виду, отвечающему формализму гармонических осцилляторов:

Важно понять, что выражение амплитуды через гармонические осцилляторы прямо следует из функционального формализма.

К счастью, эта амплитуда вычисляется несложно. В качестве упражнения сначала вычислим в явном виде четырехточечную функцию:

Здесь

суть переменные Манделстама, оператор чисел заполнения: Итак, четырехточечная амплитуда рассеяния имеет изящный вид; действительно, ее можно представить бета-функцией Эйлера. Данная функция обладает привлекательными физическими свойствами, впервые поразившими воображение специалистов по теоретическим проблемам высоких энергий в конце шестидесятых годов. Она была совершенно случайно обнаружена Венециано и Судзуки при поиске способа удовлетворить правилам конечности энергетических сумм для адронной -матрицы. В то время теоретики стремились построить амплитуду рассеяния для адронов, отвечающую следующим критериям для -матрицы, которые предложил Дж.

(1) Унитарность.

(2) Лоренц-инвариантность.

(3) СРТ-инвариантность.

(4) Аналитичность.

(5) Кроссинг-симметрия.

К этому списку некоторые теоретики добавляли следующие критерии:

(6) Реджевское поведение, т. е.

для больших при фиксированном а также

(7) Дуальность, т. е.

Этот список «аксиом» для адронной -матрицы оказался столь длинным, что физики не верили, что когда-либо удастся удовлетворить всем перечисленным выше критериям. Поэтому, когда бета-функция Эйлера была случайно обнаружена при перелистывании математического справочника, эти два молодых физика были удивлены тем, что эта

аналитическая функция удовлетворяла всем вышеприведенным аксиомам, кроме одной! Например, реджевское поведение можно показать с помощью формулы Стирлинга, аппроксимирующей Г-функцию:

Дуальность можно продемонстрировать также и другим способом, вычислив асимптотику полюсов подыинтегрального выражения вблизи пределов интегрирования

Похожее выражение можно записать и для полюсов в -каналах. Фактически можно удовлетворить всем постулатам, кроме первого (унитарности). (Унитарность нарушается по той простой причине, что амплитуда имеет ряд полюсов в плоскостях и . У настоящей унитарной амплитуды должны быть мнимые части вместо полюсов и разрезы вдоль вещественной оси, как будет показано в гл. 5.)

Теперь с помощью операторных методов можно вычислить -точечную функцию. -точечная амплитуда записывается в следующем виде (см. рис. 2.7):

где

(Заметим, что мы переносили множители при направо, пока они не подвергнутся аннигиляции с вакуумом.) Проще всего упростить это выражение с помощью формализма когерентных состояний. Пусть произвольное состояние фоковского пространства представлено в виде

Тогда мы получим

Рис. 2.7. N-точечная функция. Проективная инвариантность позволяет произвольным образом зафиксировать три из переменных. Наиболее удобная параметризация - взять первую переменную равной бесконечности, вторую - единице, последнюю равной нулю, а все остальные упорядочить между 1 и 0.

Последовательно используя эти тождества, находим

Итак, мы получили то же самое выражение для -точечной функции (2.5.19), которое было выведено ранее функциональными методами:

Здесь упорядочены вдоль вещественной оси так же, как ранее. Заметим, что мы уже зафиксировали значения трех точек вдоль вещественной оси равными 0, 1 и как и ожидалось.

Используя формализм гармонических осцилляторов, можно показать циклическую симметрию -точечной функции, которая не очевидна, когда амплитуда записана как последовательность Мы применим следующее тождество, описывающее, что произойдет, если два вертекса пронести друг над другом (поменять местами):

Здесь если если

Необходимо также переписать представление вакуума в форме, в которой оно напоминает другие вертексы, чтобы можно было вычислить свойства амплитуды в отношении циклического переупорядочения вертексов. Мы получим следующие тождества:

При такой записи тахионные состояния в крайних левом и правом положениях больше не рассматриваются отличным от других способом. Крайний вертекс справа теперь определен в точке 0, крайний слева - на бесконечности, а все другие вертексы располагаются внутри этого интервала.

Итак, когда мы протолкнем вертекс через все выражение для амплитуды, то получим

Заметим, что последний множитель в этой формуле обратится в нуль, если импульс сохраняется, т. е.

здесь мы использовали также условие массовой поверхности Мы видим, что лишь на массовой поверхности амплитуда действительно является циклически симметричной. (Исторически это послужило еще одной причиной, по которой физики считали, что построение полевой теории струн, скорее всего, невозможно. По определению полевая теория формулируется вне массовой поверхности, тогда как чудесные свойства модели Венециано проявляются только на массовой поверхности.)