§ 3.4. ЛОКАЛЬНАЯ ДВУМЕРНАЯ СУПЕРСИММЕТРИЯ

Заметим, что условия

мы наложили вручную. Никакого обоснования этому дано не было. Мы просто сослались на то, что должно существовать действие с более широкой симметрией, из которого эти связи можно вывести с самого начала.

Здесь мы опишем локальное обобщение изложенной выше теории. Ключом к построению этого локально суперсимметричного действия служит введение в теорию дополнительных полей. Кроме суперсимметричной пары

мы вводим двумерную «тетраду» и ее суперсимметричного партнера

Здесь греческие буквы метят двумерные векторы в искривленном пространстве, греческие буквы и продолжают служить метками 10-мерных векторов (пространственно-временных), латинские буквы с метят двумерные векторы в плоском пространстве: - двумерный спинор, а также двумерный вектор, а двумерные индексы спинора опущены. Итак, и тетрада, и спинор имеют по четыре компоненты, как и требуется для суперсимметрии. Теперь построим полное действие,

впервые выписанное Бринком, Ди Веччиа, Хоувом, Дезером и Зумино [11-13]:

Заметим, что матрицы использованные выше, в действительности определены в двумерном искривленном пространстве, поскольку они умножаются на

Действие инвариантно относительно преобразований

Оно также инвариантно относительно масштабных преобразований Вейля:

Оно также инвариантно (вследствие некоторых тождеств, справедливых в двумерном случае) относительно преобразований

Наконец, по построению оно также явно инвариантно относительно локальных двумерных лоренцевых преобразований и репараметризаций из-за присутствия поля локальных тетрад. (Наличие обыкновенных производных вроде да в действии вместо ковариантных производных искривленному пространству объясняется тем фактом, что двумерное поле связности исчезает из действия.)

Теперь мы можем вывести ограничения, которые мы наложили на фоковское пространство вручную. Заметим, что вариация действия

относительно тетрады дает

тогда как варьирование суперсимметричного партнера тетрады дает

Это те ограничения, которые мы выше обещали получить и которые теперь выведены как следствия вариации полей.

Теперь мы можем выбрать калибровку

Заметим, что у нас есть достаточно много симметрий, относящихся к полю чтобы полностью исключить это поле: сочетание двумерной суперсимметрии (3.4.5) и симметрии (3.4.7). Тогда наши ограничения сведутся к

(где скобки обозначают взятие половины симметризованной суммы). Это, конечно, те связи, которые были впервые введены в начале нашего обсуждения в (3.2.7) и (3.2.13). Итак, теперь мы вывели эти связи из инвариантного действия, вместо того чтобы просто налагать их на состояния системы.

В итоге это действие инвариантно относительно нескольких локальных симметрий. В их число входят

(1) локальная двумерная лоренцева симметрия,

(2) репараметризация,

(3) вейлевское изменение масштаба,

(4) двумерная суперсимметрия,

но не 10-мерная пространственно-временная суперсимметрия.