§ 4.3. СПИНОВЫЕ ПОЛЯ

Пока что ничего нового мы не получили. Мы лишь вывели заново старые результаты, которые можно было получить и с помощью формализма гармонических осцилляторов, использованного в предыдущих главах. Мы просто предпочли переписать генераторы алгебры NS-R на языке, подчеркивающем конформный вес и структуру особенностей коммутаторов в -плоскости, вместо того чтобы разлагать эти коммутаторы по их фурье-компонентам. Новшеством, однако, будет введение нового поля которое преобразуется как настоящий спинор под действием группы Лоренца. Это позволит сформулировать

модель с единственным вакуумом вместо двух разных вакуумов с помощью процесса, называемого бозонизацией.

Сначала выпишем генераторы десятимерной лоренцевой группы через антикоммутирующее векторное поле используемое в (NS-R)-теории:

Мы требуем, чтобы они удовлетворяли коммутационным соотношу ниям обычной алгебры Лоренца, выраженным через поля, определенные в -плоскости. С учетом известных антикоммутационных соотношений для поля у, даваемых формулой (3.2.23), легко показать, что

Заметим, что генераторы этой алгебры суть функции , следовательно, они образуют более обширную алгебру, чем Действительно, эта алгебра называется алгеброй Каца-Муди, и она будет широко использоваться в настоящей книге.

Изучение теории групп, лежащей в основе лоренцевой симметрии, показало, что представления этой группы могут быть либо тензорами, либо спинорами. Свойства преобразований этих полей однозначно определяются самой теорией групп. Аналогично мы определим тензорные и спинорные представления алгебры Каца-Муди, связанной с группой свойства преобразований которых будут однозначно определяться одной лишь теорией групп. Эти свойства преобразований оказываются столь мощными, что из них можно определить матричные элементы.

В частности, вектор по определению преобразуется под действием алгебры Каца-Муди следующим образом:

Спиновое поле поскольку оно преобразуется как спинор группой должно по определению удовлетворять следующему свойству преобразования:

Замечательное утверждение конформной теории поля состоит в что два предыдущих тождества, показывающих, как векторы и спиноры преобразуются под действием группы достаточны для деления практически всех корреляционных функций этой теории!

Тензор энергии-импульса в свою очередь может быть записан как нормально упорядоченный квадрат генераторов группы Лоренца:

Вычислив в явном виде коммутаторы предыдущего уравнения, убеждаемся, что этот тензор является генератором алгебры Вирасоро.

К сожалению, спиновое поле имеет конформный вес 5/8, что мы докажем ниже в этой главе, когда построим явное представление этих полей. Однако это можно вывести и из общих соображений следующим образом. Ранее в (4.1.46) мы видели, что вектор с наивысшим весом модуля Верма можно записать как

где - поле с весом а вакуум группы . В суперконформном случае у нас фактически имеются два вакуумных вектора с наивысшим весом:

Мы хотим устранить второе вакуумное состояние с наивысшим весом, чтобы сохранить -суперсимметрию. В случае суперструны теория содержит лишь один спинор на низшем уровне, а не два. Чтобы устранить второе состояние, используем тождество

(Мы выбрали форму с-числовой аномалии в алгебре Рамона, слегка отличную от (3.2.28). Этот выбор также удовлетворяет тождествам Якоби.) Мы хотим, чтобы состояние обратилось в нуль после Действия на него еще одним оператором Это значит, что

Чтобы это равенство выполнялось, вес спинового поля должен быть Равен что и ожидалось.

Ключ к вычислению матричных элементов любого конформного поля - вычисление его поведения на коротких расстояниях при взаимодействии с другими полями и действии суперконформной группы.

Поэтому мы вычислим теперь поведение спинового поля на коротких расстояниях, используя только соображения симметрии, чтобы установить его структуру на коротких расстояниях и его матричные элементы.

Прежде всего, тождество (4.3.4) означает, что операторное

произведение двух полей должно содержать, во всяком случае, поле у:

Чтобы вычислить операторное произведение и рассмотри трехточечную функцию

где вакуум - это NS-вакуум. В пределе спиновое поле заменяет NS-вакуум на вакуум со спинорными квантовыми числами, т. е. на вакуум Рамона

(Заметим, что оператор спина позволяет нам перейти от NS-вакуума к R-вакууму, что было невозможно в рассмотренной выше теории Это значит, что (4.3.11) можно переписать в виде

Но только нулевые моды поля сохранятся в этом вакуумном среднем, так что у нас останется матричный элемент матрицы Дирака:

Это в свою очередь означает, что операторное произведение двух у содержит

Наконец, нам нужно знать поведение на коротких расстояниях результата взаимодействия двух спиновых полей. Мы видели, что конформный вес спинового поля равен 5/8. Поэтому

где 5/4 есть удвоенная размерность спинового поля.

Окончательно мы можем свести воедино (4.3.10), (4.3.14) и (4.3.16) и получить поведение на коротких расстояниях двух спиновых полей. Итак, соображения симметрии задали поведение спинового поля на коротких расстояниях, которое можно представить в виде

Мы видели, что спиновое поле имеет размерность 5/8. Но нам нужна фермионная вершинная функция, имеющая размерность 1, которую ивжяо было бы использовать в многофермионной амплитуде. Чтобы отыскать недостающий фактор 3/8, обратимся теперь к духовому сектору нашей теории. Этот сектор даст нам последний кусочек мозаики, которого не хватало для полноты картины.