§ 4.2. СУПЕРКОНФОРМНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ

Обсудим теперь более сложный вопрос о записи суперконформной теории поля. Вместо выписывания преобразований поля как функций комплексной переменной выпишем преобразование пары переменных в наиболее общей форме:

где - грассманова переменная. Преобразование этой пары наиболее общего вида дается формулой

К сожалению, такое преобразование имеет чрезмерно общий вид

Действительно, если взять произведение двух таких преобразований, мы не получим преобразование того же вида. Необходимо наложить ограничение на систему, чтобы получить замкнутую группу преобразований.

Определим суперсимметричную производную (см. Приложение) формулой

так что

Вычислим теперь, как эта суперсимметричная производная преобразуется при репараметризации:

Такой закон композиции также не может нас удовлетворить, поскольку он сильно нелинеен. Нам нужно, чтобы, как это было в случае конформных преобразований, производная преобразовывалась линейно. Поэтому мы просто устраняем нелинейные члены, налагая связи

Эти связи, линеаризующие преобразование репараметризации, в точности совпадают с нужными нам связями. Наложив их, мы можем показать, что два различных суперконформных преобразования дают новое суперконфермное преобразование:

Итак, мы назовем преобразование поля суперконформным, если оно Удовлетворяет условиям

Легко проверить, что устранение компонент 0 приводит это выражение обратно к конформному виду, выписанному ранее в (4.1.7).

Как и в предыдущем параграфе, мы можем выписать эти условия Форме бесконечно малой вариации полей:

где параметризует суперконформные преобразования. Заметим, что

это выражение почти совпадает с бозонным преобразованием (4.1.28) отличаясь от него лишь членом, содержащим два оператора Замыкание алгебры теперь можно записать в виде

где

Заметим, что мы снова получим обычную алгебру Вирасоро (4.1.16), если положим равными нулю.

Мы видим, что репараметризации по грассмановым переменным можно выразить через два параметра,

Эти уравнения являются частным решением системы (4.2.6), так что нам известно, что группа замыкается в собственном смысле после двух последовательных преобразований полей. Это решение будет положено в основу построения суперконформных токов, а затем и самой суперконформной алгебры.

До сих пор мы ограничивались лишь весьма общими замечаниями о суперконформной группе, не ссылаясь ни на какую конкретную модель. Теперь перепишем -модель, выразив ее через конформные поля. Действие имеет вид

Уравнения движения суть

а их решение есть

Поэтому мы выберем

так что действие примет вид

Заметим, что это есть не что иное, как исходное действие модели NS-R записанное на конформном языке. Из него можно получить супертензор энергии-импульса в несколько иной нормировке:

Выпишем его в явном виде:

Это токи (3.2.7) и (3.2.13), записанные в конформном формализме. Заметим, что суперток теперь является частью того же тензора, что и тензор энергии-импульса т. е. они являются суперсимметричными партнерами друг друга.

Как и в (4.1.25), вариация суперполя дается формулой

Если поле имеет вес а тензор энергии-импульса имеет вес 3/2, то преобразуются суперконформным преобразованием по формулам

где

На самом деле эти соотношения сложнее, чем кажутся; они выражают в компактной форме большое число уравнений. Чтобы это увидеть, выпишем предыдущие уравнения в развернутом виде. Подавляя (4.2.18) в (4.2.21), находим

В развернутом виде эти соотношения дают суперконформную алгебру которую мы явным образом описали в (3.2.26) и (3.2.28). Поэтому они содержат большой объем информации.

Преобразование поля (4.2.21) можно расписать подробно, взяв

Разлагая в степенные ряды по формулам

мы получим описание того, как поле преобразуется суперконформным преобразованием:

Итак, соотношения (4.2.21) содержат всю информацию о суперконформных преобразованиях.

Вычислим теперь, какие вклады разные поля вносят в аномалию. Сравнивая (4.1.29) и (4.2.23), видим, что бозон вносит в аномалию вклад тогда как фермион вносит лишь Можно также показать, что духи и с вносят вклад —26, а духи Р и у - вклад Действительно, ниже в этой главе мы покажем, что вклад в аномалию духа с конформным весом X равен

где равно (соответственно — 1) для статистики Ферми (соответственно для статистики Бозе). Подытоживая, находим:

Поле Аномалия

Складывая все вместе, находим, что общая аномалия равна

так что для обращения этого члена в нуль должно выполняться .