§ 7.2. ПОЛЕВАЯ ТЕОРИЯ BRST

Для выражения дополнительных полей введенных в (7.1.27), в формализме BRST используются духи Фаддеева-Попова. Эти духи уничтожают 2 из 26 мод, оставляя требуемые 24 физические моды.

Пересмотрим основные положения первично квантованной полевой теории BRST. В лагранжиане мы выбираем конформную

калибровку, записанную в форме Тогда детерминант фаддеева-Попова для фиксации конформной калибровки можно представить как

Этот детерминант в свою очередь вычисляется в явном виде путем введения духового поля Фаддеева-Попова по переменной 0, как в (1.6.22):

где

Заметим, что это выражение позволяет нам переписать первоначальное действие теории, включив духи Фаддеева-Попова:

где - спиновая матрица Паули

Как и раньше, этот лагранжиан имеет локальную калибровочную инвариантность, которая на полях может генерироваться применением нильпотентного оператора Чтобы убедиться в этом, сделаем двумерный виковский поворот и перепишем действие в явно комформно инвариантном виде через комплексную переменную и антикоммутирующие поля и с. Переписывая (7.2.2), находим, как и в (2.4.4),

Здесь мы опять видим, что лагранжиан инвариантен при преобразованиях

Используя эти вариации, мы можем выделить нильпотентный BRST-оператор Однако важно также отметить, что и в общем случае, имея любую алгебру Ли с коммутационными соотношениями возможно сконструировать нильпотентный оператор из антикоммутирующих операторов

Для нашего случая мы имеем два набора духов Фаддеева - Попова с

Таким образом, наш нильпотентный BRST-оператор можно написать так:

где

Последнее тождество фиксирует размерность пространства-времени равной 26 и интерсепт равным 1.

Следуя аналогии со случаем точечной частицы, можно сделать переход ко вторично квантованному формализму, используя разбиение временного интервала. На этот раз, однако, благодаря наличию духов Фаддеева-Попова базисное состояние заменяется полным набором промежуточных состояний Это означает, что при подстановке бесконечного набора промежуточных состояний в континуальный интеграл мы должны также подставить полный набор промежуточных состояний, соответствующий духам Фаддеева-Попова. Так как переменная 0 входит в континуальный интеграл вместе с производной по , у нас нет другого выхода, кроме как включить ее в полный ряд промежуточных состояний при факторизации функционального интеграла. Следовательно, наш полевой функционал Ф становится функцией этих духовых полей. Выражения (6.3.29) и (7.1.9) заменяются на

Функция Грина в (6.3.34) приводится к виду

Основной полевой функционал теперь - функция духовых полей

деева-Попова . Делая переход от находим

где - функция обеих переменных, . Это действие было написано Зигелем [9-14]. Если мы разложим BRST-поле по его духовым модам, то получим

Это действие явным образом описывает распространение не только

26 степеней свободы струны, но также и двух духовых мод, представляя теорию с 24 физическими модами. Отметим, что в этом выражении берется сумма по всем возможным духовым числам.

В приведенном выше действии калибровка фиксирована полностью. Однако имеется возможность построить другое действие, основанное на нильпотентности оператора которое содержит явную калибровочную степень свободы. Заменим (7.1.2) новым калибровочным преобразованием. Ранее отмечалось, что (7.1.2) выводится на основании того, что оно должно превращать струнное поле в духовое поле. При этом в BRST-формализме физическое условие заменяется требованием и мы начинаем подозревать, что новая калибровочная инвариантность BRST имеет вид

Подтверждением нашей догадки служит то, что состояние не взаимодействует с физическими состояниями Так как уже нильпотентен, мы выбираем новое действие [15-24]

Здесь берется только «обрезанное» первоначальное поле, соответствующее духовому числу — 1/2:

Здесь Р - проекционный оператор, выделяющий только состояния с духовым числом — 1/2. Поэтому новое поле это поднабор состояний, или транкирование первоначального поля

Разлагая это действие, мы видим, что наинизшее возбужденное состояние поля точно подчиняется (7.1.10). Тем самым мы указали желаемое обобщение нашего действия, в котором введенные нами дополнительные поля теперь перегруппировываются в соответствии разложением по модам для В итоге (7.1.27) компактно переформулирована как (7.2.13).

Уравнение движения, соответствующее этому действию, имеет вид

и для нижнего состояния сводится к обычным связям