§ 2.9. УНИЧТОЖЕНИЕ ДУХОВ

Мы разработали формализм гармонических осцилляторов посредством формализма Гупты-Блейлера. В конформной калибровке теория сохраняет явную лоренц-инвариантность и фактически становится теорией, построенной на свободных полях. Это объясняет тот факт, что теория на древесном уровне записывается весьма просто.

Цена, которую приходиться платить за эту простоту, состоит, однако, в том, что связи Вирасоро должны быть наложены непосредственно на гильбертово пространство, чтобы уничтожить духи.

В общем случае доказательство того, что духовые состояния не взаимодействуют с древесными диаграммами, весьма просто. (Это доказательство неприменимо к петлевым диаграммам, для которых необходимо проявить предельную осторожность, чтобы духовые состояния были уничтожены надлежащим образом.) Определим реальное физическое состояние как такое, которое удовлетворяет связям Гупты-Блейлера:

Шпурионное состояние определим как невзаимодействующее с физическими:

Такое состояние удобно представить в виде

для некоторого состояния Теперь мы хотим показать, что эти шпурионные состояния не взаимодействуют с деревьями, т. е.

Для этого нам потребуются еще два тождества:

(Это легко показать на основании равенств (2.7.6), которые в свою очередь решающим образом зависят от того, что вертексная функция имеет конформный вес 1, если внешние тахионы удовлетворяют условию Тем самым ограничение на конформный вес вертексной функции играет центральную роль в уничтожении всех духовых состояний теории.)

Из этих двух тождеств легко выводится

Это и есть нужный нам результат. Он показывает, что операторы можно проталкивать вправо до тех пор, пока они не будут аннигилированы вакуумом.

В итоге мы показали, что шпурионные состояния не взаимодействуют с деревьями:

Это значит, что нам не нужно делать какие-либо специальные изменения в функционале для древесных амплитуд с целью учесть присутствие духов. Духовые состояния, распространяющиеся внутри древесной амплитуды, автоматически взаимно уничтожаются. Однако мы обнаруживаем, что петлевые функции действительно наталкиваются на трудности, вызванные внутренним распространением духов. Причина в том, что

Если бесхитростно пройти по деревьям, чтобы получить петли, мы неизбежно включим присутствие духов, которое может быть выделено в явном виде:

Сумма по явным образом содержит духовые состояния.

То, что духи не взаимодействуют с деревьями и вносят вклад лишь

в петлевые диаграммы, в точности эквивалентно тому, что наблюдается в случае теории Янга-Миллса. Вклад духов Фаддеева-Попова в теорию Янга-Миллса вносится не в деревья, а в петли. Этот вклад (см. (1.9.30)) таков:

Заметим, что это дает следующее взаимодействие калибровочного поля А с духовым полем с:

Такое взаимодействие означает, что одиночный дух не может взаимодействовать с древесной диаграммой, состоящей из калибровочных полей. Он может вносить вклад только в петли, где поля могут циркулировать по диаграмме. Поэтому особое внимание требуется для того, чтобы гарантировать взаимное погашение духов Фаддеева-Попова и состояний с отрицательной метрикой.

Доказать, что условия Вирасоро полностью уничтожают все возможные духовые состояния, - это, однако, предельно сложная задача. В принципе, способность перейти к калибровке светового конуса обычно достаточна для доказательства того, что теория свободна от духов. Но никогда нельзя быть уверенным, что квантование не внесет аномалий, разрушающих это положение. Поэтому становится важной непосредственная проверка отсутствия духов в фоковском пространстве для формализма Гупты-Блейлера. Существуют два независимых доказательства этой теоремы [24, 25], и оба не слишком просты. Следующее ниже обсуждение читатель может пропустить.

Чтобы не затемнять смысла многочисленными подробностями, сначала вкратце опишем стратегию уничтожения духов. Построим набор физических операторов таких, что

(1) они коммутируют с генераторами алгебры Вирасоро:

(2) порождают физическое гильбертово пространство:

состояния этого пространства имеют или положительную, или нулевую норму, но не могут иметь отрицательной нормы.

Исходное фоковское пространство -мерных гармонических осцилляторов должно быть эквивалентно множеству состояний, порождаемому этими -мерными поперечными операторами, отрицательными составляющими этих осцилляторов и исходными операторами Вирасоро:

Операторы порождают духовые состояния, так что если взять только состояния мы получим правильные, не содержащие духов состояния. Это и будет нужный нам уничтожающий духи результат, который мы хотим теперь доказать.

Сначала определим

где

а -нулевой вектор:

Мы можем рассматривать этот вертексный оператор в качестве вертекса для вставки безмассовой векторной частицы. Этот специальный вид вертексной функции был выбран по следующей причине. Заметим, что поскольку нулевой вектор, то коммутационные соотношения генераторов алгебры Вирасоро с этим вертексным оператором будут следующими:

Заметим, что это выражение представляет собой полную производную. Проинтегрировав ее по окружности, немедленно получаем

Итак, мы выбрали такую форму вертексной функции, чтобы удовлетворить первому критерию: все А коммутируют с генераторами алгебры Вирасоро. До сих пор, однако, у нас не было иных ограничений на кроме того, что это должен быть нулевой вектор. Нужно наложить дополнительные ограничения, чтобы выполнялось второе условие.

Начнем с вектора импульса основного состояния, такого, что удовлетворяют условиям

Теперь применим вертексный оператор к вектору состояния . В результате получим состояние с импульсом Мы хотим, чтобы это состояние удовлетворяло также условию массовой поверхности.

Вследствие этого мы требуем

Итак, мы требуем, чтобы вектор импульса был нулевым состоянием, чтобы вертексный оператор коммутировал с генераторами алгебры Вирасоро и чтобы (с целью породить дополнительные поперечные состояния на массовой поверхности при действии на основное состояние).

Теперь мы должны полностью реализовать последнее условие, а именно, что эти операторы действительно образуют целое физическое пространство состояний. Здесь имеются некоторые трудности. На первый взгляд можно ожидать, что отрицательные моды могут быть порождены взятием ковариантного аналога значения Поскольку конформный спин произведения операторов обычно является просто их суммой, то можно ожидать, что так оно и есть. Но на самом деле мы обнаруживаем, что нормальное упорядочение разрушает эту ситуацию и отрицательные составляющие не коммутируют с генераторами алгебры Вирасоро:

Чтобы преодолеть эту трудность, в определение вертексной функции нужно добавить дополнительное слагаемое. Полное определение теперь имеет вид

Можно показать, что такая комбинация имеет конформный спин единица и сводится, если взять поперечные составляющие, к предыдущему выражению после его интегрирования.

Теперь найдем коммутатор этих полей:

где

Это позволяет записать

Заметим, что составляющие с индексом «плюс» исследуются тривиально

и что коммутационные соотношения поперечных операторов в точности те же, что у обычных гармонических осцилляторов. Теперь снова переопределим моды с индексом «минус»:

Собирая все вместе, получаем окончательные коммутационные соотношения:

Это окончательный набор коммутационных соотношений. Заметим, что новые операторы коммутируют с исходными операторами и оба этих набора коммутируют с генераторами алгебры Вирасоро. Таким образом, мы теперь построили новое гильбертово пространство линейно независимых операторов, которое можно использовать для замены исходного фоковского пространства:

Физическое гильбертово пространство, таким образом, порождается операторами которые эквивалентны операторам [26], которые порождают физическое пространство в калибровке светового конуса. Далее, мы знаем, что следующее состояние имеет нулевую норму:

Это можно проверить, взяв норму этого состояния и используя коммутационные соотношения операторов Тем самым мы получаем окончательное утверждение: множество состояний, порождаемое набором

характеризуется тем, что эти состояния имеют либо положительную, либо нулевую норму, но не могут иметь отрицательной нормы. Этим завершается доказательство того, что условия Вирасоро полностью Устраняют духи из гильбертова пространства.