§ 5.10. ДЕТЕРМИНАНТЫ И СИНГУЛЯРНОСТИ

Преимущество метода римановой поверхности состоит в том, что по тайней мере формально возможно получить результаты об общей структуре сингулярностей -петлевой амплитуды. Оказывается, что детерминант, содержащий эти сингулярности, есть дзета-функция Зельберга мы видели, что проективные преобразования естественным образом разбиваются на классы сопряженных элементов. Два проективных преобразования считаются относящимися к одному и тому же сопряженному классу, если у них один и тот же множитель. Так, любые два элемента одного сопряженного класса могут быть приведены проективным преобразованием к виду

Величину иногда называют «длиной» замкнутой геодезической. Пусть суть две точки комплексной плоскости. Тогда мы определим «расстояние» между этими двумя точками формулой

Преимущество этого определения «расстояния» в том, что оно одинаково для всех элементов одного смежного класса.

Мы видели на примере однопетлевой амплитуды, что умножение на множитель перемещает точку по -циклу. Топологически это просто означает обход по замкнутой геодезической на римановой поверхности. Итак, есть длина простой замкнутой геодезической на этой поверхности. Мы будем называть преобразование примитивным, если оно не является степенью (большей или равной 2) какого-либо другого элемента из множества проективных преобразований. Итак, нас интересует множество примитивных геодезических. Определим дзета-функцию Зельберга как в [23]:

Здесь берутся произведения по длинам замкнутых примитивных геодезических у на поверхности, для бозонов и для фер-Мионов, в зависимости от спиновой структуры.

Примечательно, что мы можем выписать различные детерминанты, найденные ранее при вычислениях многопетлевых амплитуд, с помощью дзета-функции Зельберга [28]:

Фермионные детерминанты также можно выразить следующим образом:

Здесь x - число Эйлера есть число нулевых мод для Числовая постоянная с определяется по формуле

Тем самым, исследуя структуру некой функции, мы получили структуру сингулярностей -петлевой амплитуды!

Математикам известно, что дзета-функция Зельберга хорошо себя ведет, пока риманова поверхность не вырождается топологически. Например, мы обнаруживаем расходимость, при которой длина примитивной геодезической стремится к нулю. Это соответствует бесконечному растяжению «шейки» одной из ручек сферы. Тщательно исследуя поведение дзета-функции Зельберга при стремлении к нулю одной из длин примитивных геодезических, находим

т. e. полюс, соответствующий испусканию тахиона в вакуум.

Возможность выделить сингулярности многопетлевой амплитуды с помощью известной математической функции, а именно дзета-функции Зельберга, это крупный шаг вперед в разрешении главной проблемы, стоящей перед струнной теорией возмущений, - строгим доказательством конечности этой теории во всех порядках. Формально можно показать, что расходимости многопетлевой амплитуды могут возникнуть в том случае, когда интегрирование по пространству модулей меняет топологию римановой поверхности, скажем, когда два отверстия отделяются и образуют длинную «гусиную шею». Однако имеется много тонкостей, связанных с сокращением этих расходимостей и не вполне пока решенных. Хотя предварительные результаты обнадеживают, строгое доказательство сокращения расходимостей остается нерешенной проблемой.