§ 5.7. РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ И ПРОСТРАНСТВА ТЕЙХМЮЛЛЕРА

Хотя в результате предыдущих вычислений мы получили явную формулу, выражающую многопетлевые амплитуды через группы Шоттки, нам приходится быть осторожными при обрезании области интегрирования с целью избежать повторного счета. Это, по-видимому, трудность, внутренне присущая формализму Намбу-Гото, так как в нем континуальный интеграл не фиксирует область интегрирования однозначно.

Что же касается формализма Полякова, то он позволяет устранить Повторный счет с самого начала, используя мощные теоремы для Римановых поверхностей. Одно из крупных преимуществ этого формализма - возможность в полной мере воспользоваться богатством результатов математических исследований римановых поверхностей, которые проводились в прошлом столетии. Особенно важен будет тот факт, что найденный ранее детерминант, содержащий в себе структуру особенностей -петлевой диаграммы, может быть выражен через дзета-функцию Зельберга.

Напомним, что действие Полякова дается формулой (2.1.35)

Порождающий функционал есть

и его нужно тщательно разделить на подходящий коэффициент, чтобы не учитывать многократно вклад конформно эквивалентных римановых поверхностей. Мы будем следовать выводу Альвареса [22] для замкнутых струн.

Функциональный интеграл по струнной переменной X гауссов и поэтому легко вычисляется (см. (1.7.10)):

где

а штрих у детерминанта означает, что нулевая мода всегда будет отбрасываться.

Функция распределения (5.2.14), содержавшая расходимость одной петли, в этот детерминант не входит.

Однако выполнение континуального интегрирования по метрике оказывается намного более сложным из-за наличия калибровочных параметров и петель. Как было показано в (2.4.1), мера инвариантна относительно общековариантного преобразования в -мерии и масштабного преобразования:

Если ввести символы Кристоффеля, это выражение можно переписать в ковариантной форме:

Здесь а является параметром вейлевского масштабного преобразования, определяет репараметризацию двумерной поверхности. В общем случае это означает, что мера интегрирования по на самом деле является бесконечной. Заметим, что имеет три независимые компоненты и что также имеют три компоненты, так что интуитивно можно ожидать, что допустимо положить все компоненты метрического тензора равными дельта-функции:

На интуитивном уровне выбор конформной калибровки эквивалентен факторизации континуального интеграла по бесконечному объему факторы, отвечающие вейлевскому масштабному преобразованию, с одной стороны, и двумерной репараметризации поверхности, с другой. Фиксация калибровки тогда означает, что континуальный интеграл по

метрике заменяется согласно формуле

бесконечный объем пространства может быть представлен в виде

Для сфер и дисков без отверстий это действительно верно. Однако для поверхностей с большим числом петель или ручек это уже не так осложнений, связанных с параметризацией петель.

В общем случае сфера с отверстиями или ручками требует много параметров для описания расположения и размера каждого отверстия. В сущности, для диска с отверстиями нам нужны один параметр для задания радиуса каждого отверстия и еще два для задания координат центра каждого отверстия. Таким образом, для описания отверстий нужно параметров. (В случае сферы с ручками необходимо комплексных параметров для описания пар отверстий.) Как мы видели ранее, три параметра можно зафиксировать в качестве общих (и взять их равными, скажем, 0, 1 и бесконечности), так что диск с отверстиями может быть описан

вещественными параметрами или вдвое большим их числом, если поверхность является сферой с ручками. Итак, нельзя положить равным для поверхностей с высоким родом (отверстиями). Однако всякая двумерная метрика конформно эквивалентна метрике с постоянной кривизной. Конформным преобразованием всегда можно сделать кривизну постоянной. Поэтому пространство метрик, по которому мы хотим интегрировать, это пространство метрик с постоянной кривизной, Разбитое на классы с помощью диффеоморфизмов поверхности М. Пространство модулей есть пространство метрик с постоянной кривизной, в котором устранен повторный учет, порождаемый репараметризационной инвариантностью:

Однако, как было показано при обсуждении однопетлевых диаграмм в разд. 5.5, на самом деле существуют два класса репараметризаций: те, которые можно связать с тождественным преобразованием, и те, которые могут быть с ним связаны. В предыдущем тождестве разбиение осуществлялось посредством множества всех диффеоморфизмов поверхности. Но мы также могли осуществить его посредством лишь таких Ффеоморфизмов, которые связаны с тождественным преобразованием, назовем его Полученное пространство называется

пространством Тейхмюллера:

Связь между пространством модулей и пространством Тейхмюллера разумеется, должна быть очень тесной. В самом деле, фактически они эквивалентны с точностью до действия некоторой дискретной группы называемой группой классов отображений

Таким образом,

Другими словами, пространство Тейхмюллера отличается от пространства модулей только глобальными диффеоморфизмами, которые не могут быть связаны с тождественным преобразованием. К примеру, представьте себе, что тор разрезан, как на рис. 5.13, один край разреза повернут на и края разреза снова соединены. Эта операция называется твистом Дена. Обратите внимание, что такое преобразование порождает диффеоморфизм, который не может быть непрерывными преобразованиями переведен в тождественное преобразование. Это глобальный диффеоморфизм. Поэтому пространство Тейхмюллера «больше» пространства модулей, поскольку необходимо разбить его на блоки, отвечающие глобальным диффеоморфизмам, чтобы получить пространство модулей. Размерности обоих этих пространств

Рис. 5.13. Действие твиста Дена. Тор разрезан вдоль его -цикла. Один из концов тора перекручивается на один полный оборот и снова склеивается с другим концом. Заметим, что исходный -цикл теперь становится суммой а- и -цикла. Такое отображение тора на себя не может быть непрерывно деформировано обратно к тождественному отображению. Множество всех твистов Дена порождает группу классов отображений.

даются формулой

Это конечно, в точности совпадает с числом параметров, необходимых для описания сферы с отверстиями. Тем самым такое описание дает яеобходимые параметры для параметризации -петлевой диаграммы. (Заметим, что модулярная группа и группа классов отображений совпадают, и мы будем использовать оба термина в одном и том же смысле.)

На практике объемный фактор, порождаемый группой классов отображений, можно устранить тривиально, так что для наших целей мы можем считать пространство Тейхмюллера и пространство модулей по существу совпадающими.

Пока что обсуждение касалось лишь общих вопросов. Чтобы действительно извлечь эти дополнительные параметры, необходимые для описания отверстий в римановой поверхности, нужно использовать теорию пространств Тейхмюллера.

Некоторые необходимые для этого вычисления довольно сложны, так что мы должны всегда помнить о нашей конечной цели: выразить функциональную меру через параметры параметров Тейхмюллера Итак, наша цель - найти соотношение

Тогда, просто разделив на и Кот, мы успешно устраним бесконечную избыточность, связанную с репараметризационной и масштабной инвариантностью.

Перепишем теперь вариацию метрического тензора (5.7.6) в более Удобной форме, выражающей тот факт, что зависит также от т. е. от параметров Тейхмюллера. Используя правило дифференцирования Ложной функции, можно формально представить зависимость метрического тензора от параметров Тейхмюллера с помощью

Здесь мы в явном виде выписали вариацию метрического тензора как функцию параметров (параметров Тейхмюллера), которые метят связанные с петлями. Заметим, что мы вычли след в скобках и что на этой стадии вычислений нам нет необходимости задавать, как именно метрика зависит от разных

Вариацию можно переписать в виде

где

Оператор играет ключевую роль в теории пространств Тейхмюллера. Заметим, что он является эллиптическим оператором, отображающим векторы в бесследовые симметричные тензоры. Пусть представляет ядро этого оператора, т. е. множество векторов, которые отображаются в нуль оператором называют множеством «конформных векторов Киллинга». Для поверхностей, имеющих род размерность ядра оператора определяется следующим образом:

Мы также определим оператор, сопряженный и назовем его Чтобы это сделать, нам, конечно, нужно сначала определить скалярное произведение. Определим

Это позволяет определить сопряженный оператор с помощью определения

Рассмотрим теперь пространство т. е. пространство векторов, обращаемых в нуль действием оператора Переписав все через переменные и видим, что элементы пространства удовлетворяют уравнению

Базисом ядра оператора служат векторы, называемые квадратными дифференциалами. К счастью, размерности пространств квадро тичных дифференциалов для римановых поверхностей известны:

Таким образом, число параметров, описывающих ядро оператора равно числу параметров Тейхмюллера, необходимых для описания поверхности с ручками или петлями. Символически мы можем теперь описать, как разбить меру интегрирования на части, из которых

записав

Это уравнение имеет довольно простой смысл. Оно означает, что составляющие метрического тензора могут быть разбиты на три части а именно на часть, отвечающую растяжению, на бесследовую часть и на скрытые параметры Тейхмюллера. Оно также означает, что ли почти достигли нашей цели, сформулированной в (5.7.16), но здесь имеются некоторые осложняющие тонкости.

Проведем явным образом замену переменных и вычислим якобиан дого преобразования. Сначала предположим, что нам не нужно беспокоиться о параметрах Тейхмюллера. Затем перейдем от переменных А (т.е. бесследовой части метрического тензора) и (т.е. следа ) к переменным :

где

причем значение X произвольно, поскольку оно не входит в детерминант.

Заметим, что квадратный корень из детерминанта матрицы - это как раз детерминант Фаддеева-Попова для конформной калибровки и он может быть выражен через духи BRST. Итак, мы можем записать детерминант Фаддеева-Попова, впервые вычисленный в (2.4.3), как

Следующий шаг - вычисление множителя Якоби, отражающего тот факт что мера на самом деле зависит от параметров Тейхмюллера Проблема состоит в том, что параметры Тейхмюллера не ортогональны так что якобиан будет содержать внедиагональные члены, которые вынести за знак определителя.

Начнем обсуждение с введения набора комплексных полей которые будут ортогональным базисом пространства Теперь разложим на составляющие множитель [22, 23]

записав следующее тождество:

Важно отметить, что здесь мы пока ничего не изменили, а только добавили и вычли один и тот же член. Однако введенный нами член содержит оператор действующий на другое состояние. Поэтому приведенное выше тождество полезно, поскольку оно позволяет выделить ту часть которая совпадает по направлению с

Здесь

Как и ожидалось, имеет составляющую, направленную вдоль которую необходимо учитывать при выписывании якобиана. Обратно подставим это выражение в меру для

Это, наконец, дает якобиан, включающий вклад от параметров Тейхмюллера. Мы также явным образом учли тот факт, что исходно содержал составляющую, лежащую вдоль

Это в свою очередь позволяет собрать вместе все элементы континуального интеграла в следующий фактор:

Мы, наконец, добились нашей цели (5.7.16), если оставить в стороне вопрос об аномалиях, которые могут нарушить масштабную инвариантность.

Хотя приведенные выше рассуждения могут показаться длинными и сложными, окончательный результат весьма прост. Он показывай» что мера интегрирования, включающая детерминант Фаддеева - Попова для духов, может быть полностью выражена через детерминант» оператора и сопряженного ему оператора. Эта мера состоит из трех частей: первая из них - это множитель Фаддеева-Попова, котор записан как квадратный корень из детерминанта произведения вторая часть - это множитель, содержащий и возникающий того, что модулярные параметры не ортогональны базисным вектор образующим ортогональный базис пространства третья

часгь - детерминант оператора Лапласа, который, как можно показать, также может быть записан через оператор

Однако пока не удается устранить интегрирование по скалярному параметру от в (5.7.37). К сожалению, этот скалярный параметр содержится в разных частях выражения для меры. Фактически мы убедимся, что в общем случае масштабный фактор вовсе невозможно устранить из компонентов меры что нарушает конформную инвариантность. В следующем разделе мы покажем, что масштабной инвариантности предшествует некая аномалия, называемая конформной аномалией, и она может быть устранена только в том случае, когда размерность пространства-времени равна 26. Этот факт фиксирует размерность пространства- времени.

Попутно мы покажем, как записать все детерминанты через один лишь оператор