Часть III. ФЕНОМЕНОЛОГИЯ И ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ

Глава 9. АНОМАЛИИ И ТЕОРЕМА АТЬИ-ЗИНГЕРА

§ 9.1. ФЕНОМЕНОЛОГИЯ ТВО И ВЫХОД ЗА ЕЕ ПРЕДЕЛЫ

В идеале нам бы хотелось, чтобы истинно единая полевая теория всех известных взаимодействий удовлетворяла по крайней мере двум критериям:

(1) Она должна быть основана на простых физических предположениях, выраженных в терминах новой геометрии, которая будет допускать не более одной константы взаимодействия.

(2) Она должна приводить к конечной теории гравитации, соединенной с минимальной -моделью взаимодействий частиц.

До сих пор в этой книге мы только начали исследовать первую возможность, показывая, что вторично квантованная теория поля, основанная на этих двух физических принципах, существует. Однако достижения теории струн, которые мы описали, пока были чисто формальными. Если мы не сможем сопоставить теорию с известными экспериментальными данными, то, сколь элегантна бы она ни была, ее придется отбросить. Подлинной проверкой для единой полевой теории является требование, чтобы при низких энергиях она могла воспроизвести известные экспериментальные данные.

Проблема, однако, заключается в том, что размерная редукция 10-мерной теории до 4 измерений может происходить только непертурбативно. Для любого конечного порядка теории возмущений размерность пространства-времени представляется совершенно неизменной. Вообще говоря, полевая теория дает единственный надежный формализм, в котором можно проводить непертурбативные вычисления, поскольку первично квантованный формализм непременно является пертурбативным. К сожалению, мы пока не понимаем, как выполнять непертурбативные вычисления в теории струн - в основном потому, что полевая теория струн находится пока в младенческом состоянии. Так, например, физики не в состоянии просчитать устойчивость ни одного из классических вакуумных решений. Поэтому мы не будем касать квантовой устойчивости в части III этой книги и сосредоточим исключительно на классических решениях уравнений движения.

Удивительно, что при таком серьезном ограничении уже самые первые попытки исследовать экспериментальные следствия классической теории струн дали очень много новых феноменологических следствий, выводящих нас за рамки ТВО. В части III мы в первую очередь доставили вопрос: согласуется ли теория струн с результатами стандартной Особенно нас будет интересовать, может ли она воспроизвести теории Великого объединения с калибровочными группами или В этом отношении теория струн сумела достичь определенного успеха. Мы покажем в гл. 11, что, например, гетеротическая струна может быть легко редуцирована классическими методами к теории с калибровочной группой которая имеет решения с киральными фермионами и приемлема с точки зрения феноменологии ТВО.

Но мы должны также потребовать, чтобы теория струн выходила за рамки стандартной феноменологии ТВО. А именно мы должны поставить перед ней следующие вопросы, относящиеся к струнной модели:

(1) Может ли она объяснить три поколения киральных фермионов?

(2) Может ли она объяснить экспериментальные результаты по распаду протонов?

(3) Может ли она объяснить малость массы электрона?

(4) Может ли она объяснить обращение в нуль космологической постоянной после нарушения суперсимметрии?

Хотя еще рано утверждать это категорически, все же есть указания на то, что теория струн достаточно содержательна и что она опирается на математический аппарат, с помощью которого можно получить ответы на поставленные выше вопросы. В частности, существенно используется топология, так что основные феноменологические понятия, такие как число поколений, переформулируются теперь на языке топологии. Топология есть тот новый математический аппарат, который позволит нам выйти за рамки стандартной феноменологии ТВО.

Мы начнем эту главу с обсуждения изотопических групп, которые Допустимы в теории струн. Мы найдем, что свойства -матриц, такие циклическая симметрия и свойство факторизации, дают самые слабые ограничения на калибровочную группу теории. Затем мы покажем, что требование сокращения аномалий в теории струн приводит к сильным ограничениям на допустимые калибровочные группы теории. в частности, калибровочная группа суперсимметричной теории должна содержать в точности 496 генераторов, что приводит нас либо к к

Чтобы понять, как происходит процесс сокращения аномалий, будет рассмотреть некоторые элементарные свойства характеристических классов. В частности, последние достижения в суперсимметрии позволили получить доказательство теоремы Атьи-Зингера об индексе основанное на использовании простого лагранжиана. Раньше докательство теоремы Атьи-Зингера было недоступно большинству

физиков из-за запутанности и сложности математических формулировок. Однако одна из удивительных черт суперсимметрии - способность этой теории дать относительно простое доказательство теоремы Атьи - Зингера об индексе, которое мы представим в конце этой главы Мы начнем обсуждение феноменологии введением изотопического спина в рассматриваемую модель с помощью факторов Чана-Патона [1]. С самых первых дней теории струн было известно, что изоспиновые факторы могут быть тривиально введены в модель с помощью простых множителей. (В следующей главе мы обсудим более изощренный способ введения калибровочных групп через компактификацию и алгебры Каца - Муди.)

Метод Чана-Патона дает амплитуду рассеяния Т при помощи простого умножения члена Венециано-Борна А на след от произведения изоспиновых матриц, причем циклически симметричен относительно перестановки и последующего суммирования по различным перестановкам внешних линий:

Поскольку след циклически симметричен для любой изотопической группы, у нас нет ограничений на выбор самой группы. Поэтому мы хотим наложить дополнительные ограничения, которые позволят избежать физически необоснованного выбора калибровочной группы. Сначала мы вставим полный набор промежуточных состояний в амплитуду рассеяния. После этого потребуем:

(1) чтобы амплитуда Т полностью факторизовалась;

(2) чтобы поворот внешних линий имел собственные значения

(3) чтобы безмассовая янг-миллсовская частица на внешних линиях и во внутреннем факторизованном канале принадлежала присоединенному представлению калибровочной группы.

Начнем с наложения первого условия, заключающегося в полной факторизации амплитуды. На рис. 9.1 мы делим внешних частиц на две группы Пусть промежуточная линия обозначает частицу На левой части рисунка показано рассеяние частиц группы а в X, а на правой - распад частицы X в частицы группы Следуя (5.1.7), находим

Перепишем теперь эту формулу факторизации в терминах амплитуд Венециано. Каждая из амплитуд удовлетворяет условию

Отметим, что амплитуды Венециано автоматически факторизуемы циклически симметричны, так что коэффициент должен содержать

Рис. 9.1. Ограничения наложены условием унитарности. Изоспин может быть введен в модель умножением амплитуд на изоспиновые факторы Чана-Патона, подчиняющиеся более сильным условиям, возникающим из условия унитарности. Факторизованная амплитуда рассеяния должна состоять из суммы множителей Чана-Патона, в одном из которых внешние линии направлены по часовой, а в другом - против часовой стрелки (X представляет набор факторизованных состояний).

жать два члена: с циклическим и с антициклическим порядком расположения внешних линий. Поэтому произведение двух таких членов должно содержать в целом членов. Выпишем эти четыре члена явно:

Хотелось бы упростить это выражение. Используем для этого наше второе предположение, что оператор поворота соответствует

Заметим, что если мы применим оператор твиста ко всем внешним то это изменит циклический порядок на антициклический. Согласно предположению, мы рассматриваем только рассеяние безмассовых векторных частиц, для которых Таким образом, оператор твиста приобретает множитель для каждой внешней линии.

Поэтому полный вклад в оператор твиста есть

Соберем теперь все члены и сформулируем некоторые выводы. Получаем

Вставим полный набор изоспиновых матриц в предыдущее уравнение. Мы всегда можем это сделать, поэтому возьмем

Тогда можно записать

А теперь наложим третье, последнее условие. Это условие требует, чтобы комбинация -матриц в скобках была частью алгебры калибровочной группы:

Наш вывод заключается в том, что калибровочная группа, для которой множители Чана-Патона сохраняют присоединенное представление безмассовых векторных частиц, должна быть такой, что приведенная выше комбинация генераторов также является генератором алгебры. Это вынуждает нас ограничиться матрицами из и (На самом деле также отбрасывается, но уже по другим причинам. Мы не можем последовательно ввести взаимодействие открытых и замкнутых суперструн с калибровочными полями группы потому что -супергравитация не может взаимодействовать с - мультиплетами материи.)

К сожалению, этот анализ не дает никаких других ограничений, так что такая модель имеет очень небольшую предсказательную силу Вернемся теперь к вопросу об аномалиях, что фиксирует калибровочную группу, которая будет либо либо Как и в калибровочных теорий, где сокращение аномалий между кварка и лептонами играет центральную роль при построении модели, сокра щение аномалий сыграет важную роль в фиксации калибровочной группы теории струн.