§ 4. Приложение теории § 2
Теория § 2 будет проиллюстрирована вычислением асимптотических корней характеристического уравнения
где а и
константы. Это уравнение является уравнением вида (3.4) с
Построим теперь D-диаграмму для функции (3.32). Сравнивая (3.6) с (3.32), мы видим, что D-множество состоит из трех точек:
(1,1) и (1,0). Они изображены на фиг. 4. Выпуклая оболочка D-множества состоит из отрезка
при
Если а —0, то точка (1,1) не принадлежит D-множеству и выпуклой оболочкой D-множества является отрезок
на фиг. 4. Величина
соответствующая
равна
а величина
соответствующая
равна
Фиг. 4.
Предположим сперва, что
Тогда
. В (3.10) войдут только члены, соответствующие точкам
и (1,1) на
Действительно, по (3.10) и (3.32),
Уравнение (3.15) принимает вид
так что
Согласно (3.14), асимптотические корни получаются из формул
в (3.14) было подсчитано по фиг. 4 с учетом того, что
в (3.16).
Пусть теперь
так что
Главные члены в (3.10) соответствуют точкам (0,1) и (1,0) на
Действительно, по (3.10) и (3.22),
Уравнение (3.12) принимает вид
так что
По (3.13), асимптотическими корнями будут