§ 4. Приложение теории § 2

Теория § 2 будет проиллюстрирована вычислением асимптотических корней характеристического уравнения

где а и константы. Это уравнение является уравнением вида (3.4) с

Построим теперь D-диаграмму для функции (3.32). Сравнивая (3.6) с (3.32), мы видим, что D-множество состоит из трех точек: (1,1) и (1,0). Они изображены на фиг. 4. Выпуклая оболочка D-множества состоит из отрезка при Если а —0, то точка (1,1) не принадлежит D-множеству и выпуклой оболочкой D-множества является отрезок на фиг. 4. Величина соответствующая равна а величина соответствующая равна

Фиг. 4.

Предположим сперва, что Тогда . В (3.10) войдут только члены, соответствующие точкам и (1,1) на Действительно, по (3.10) и (3.32), Уравнение (3.15) принимает вид

так что Согласно (3.14), асимптотические корни получаются из формул

в (3.14) было подсчитано по фиг. 4 с учетом того, что в (3.16).

Пусть теперь так что Главные члены в (3.10) соответствуют точкам (0,1) и (1,0) на Действительно, по (3.10) и (3.22),

Уравнение (3.12) принимает вид

так что По (3.13), асимптотическими корнями будут