§ 7. Численное определение корней характеристических уравнений
Корни характеристических уравнений можно получить приближенно или из выражений для асимптотических корней, или непосредственно, или с помощью графических методов, как это было описано в § 6. При этом корни могут быть получены с любой желаемой степенью точности различными последовательными приближениями или итерационными методами.
Среди них одним из наиболее важных является способ Ньютона, в котором приближение 
выражается через предыдущее приближение z по формуле
где 
есть кратность корня. Другой способ дается формулой
Сходимость в обоих процессах квадратичная.
Если корни простые, то применимо "правило ложного положения”. В нем приближение 
к данному корню выражается через два предыдущих 
по формуле
Здесь ошибка в каждом приближении имеет порядок произведения ошибок двух предыдущих приближений. Сходимость по скорости
лежит между линейной и квадратичной и имеет в действительности порядок 
Когда кратность корня неизвестна, может быть использована итерационная формула
Сходимость в этом процессе всегда квадратичная, но он более сложен, чем (3.53) или (3.54).
При вычислении значений полиномов, которые входят в 
и его производные, может оказаться полезным эффективный вычислительный процесс, принадлежащий Самюэлсону [1], стр. 260. Пусть требуется вычислить значение полинома
и его производных 
для 
где 
комплексное число. Мы можем записать
где 
и 
есть полином степени 
Коэффициент при 
в (3.58) есть 
так что
Действительные величины 
могут быть определены подстановкой (3.57) и (3.59) в (3.58) и приравниванием коэффициентов. Это дает следующие соотношения:
Затем по (3.60) может быть вычислено 
Так как известны 
то известен полином 
Сопроцесс можно повторить для вычисления 
и нового полинома 
Затем 
можно вычислить по (3.61).
на 
можно вычислить 
и новый полином 
Затем 
можно подсчитать по (3.61), 
по (3.62).
при 