Глава XI. УРАВНЕНИЕ МИНОРСКОГО

§ 1. Введение

Уравнение

где постоянные и мало, исследовал Минорский ([3], [4], [5]) в связи с теорией самовозбуждающихся колебаний в системах стабилизации судов. Ранее Горелик вывел подобное уравнение при изучении влияния времени пролета электронов в электронных лампах, но он не предпринял попыток найти решение.

Можно ожидать, что уравнение (11.1) будет встречаться в механических или электрических задачах, в которых имеются как запаздывание, так и нелинейность. Это уравнение очень интересно само по себе и дает более содержательную иллюстрацию к теории гл. IX, чем простые примеры гл. X.

В § 2 описана типичная задача, приводящая к уравнению Минорского. В § 3 изучается характеристическое уравнение. В § 4 рассматривается некритический случай, когда корни характеристического уравнения с большими действительными частями простые. В § 5 исследуется критический случай, в котором эти корни двойные. Этот параграф интересен как первое конкретное исследование случая кратных корней характеристического уравнения. Оно, конечно, не является исчерпывающим. Мы устанавливаем тот факт, что колебания некоторого рода обычно существуют, но что они едва ли гармонической природы. Для узкой области параметров существуют гармонические колебания, рассмотренные в § 5, но выяснить, что происходит в какой-нибудь другой области, нельзя без более полного знания решений системы уравнений (11.32).

§ 2. Один пример

Типичная ситуация, приводящая к уравнению (11.1), схематически показана на фиг. 36. Звук, генерируемый громкоговорителем, после отражения от удаленного предмета попадает в микрофон. Импульс, достигающий сетки электронной лампы, запаздывает по отношению к импульсу, покидающему анод, на величину времени распространения звука от громкоговорителя до удаленного предмета и обратно.

Для упрощения анализа на фигуре опущены некоторые практически важные, но математически второстепенные детали (такие, как

напряжение смещения, усилители мощности, меры предосторожности для нейтрализации прямой передачи звука от громкоговорителя к микрофону и т. п.).

Характеристика лампы будет аппроксимироваться выражением

где — анодный ток, — сеточное напряжение, а постоянные. Пусть обозначает время, а ток в обмотке громкоговорителя; тогда по схеме фиг. 36

где с — скорость звука, - расстояние до отражающего предмета коэффициент усиления.

Фиг. 36.

Комбинируя (11.2) и (11.3), получаем

После подстановки

уравнение (11.4) примет вид (11.1).

Подобные уравнения встречаются в других задачах. Допустим, что поток воздуха в трубе контролируется тепловым анемометром, расположенным вниз по потоку от вентиля, который предполагается имеющим заметную инерцию, но ничтожное кулоновское трение. Для движения вентиля получим уравнение типа (11.1), за исключением того, что добавится член с квадратом