§ 4. Метод последовательного интегрирования (метод шагов)

Этот метод хорошо иллюстрируется следующим примером. Пример. Рассмотрим уравнение

с начальным условием

где аналитическая функция в окрестности этого полуинтервала.

Для решение может быть найдено из (1.47) и (1.48) последовательным интегрированием. Мы получаем в конечном счете выражение вида

когда где некоторый полином степени по целая часть

Предположим теперь, что — 1. Из (1.47) мы можем вычислить последовательным дифференцированием. При этом получаем

В этом конкретном примере решение уравнения (1.47) может быть выражено для всех действительных значений через функцию заданную на полуинтервале Из (1.50) ясно, что этого нельзя ожидать в общем случае для произвольных начальных условий, так как условия дифференцируемости, налагаемые на для обеспечения существования при всех отрицательных весьма жестки. Значительно более слабые условия достаточны для обеспечения существования при положительных