§ 3. Начальные условия

Для уравнений (1) и (2), если нет дополнительных условий, единственность не имеет места, как и для обыкновенных дифференциальных уравнений без отклонений аргумента. Поэтому на решения можно наложить дополнительные условия. Эти условия не могут быть наложены совершенно произвольным образом. Основной интерес представляет нахождение системы условий, в точности достаточных для определения решений единственным образом. Такие системы условий называются "начальными условиями". В этом параграфе будут указаны

различные системы начальных условий, которые применимы в различных не сходных между собой задачах.

Условия относятся к уравнению (1). Пусть некоторая данная точка из , и пусть -множество всех точек из , таких, что и по крайней мере одна координата, например удовлетворяет условию Такое множество можно назвать "начальным множеством" в . Множество определяется как множество всех таких точек из , что .

A. Функции заданы и интегрируемы по на всем отрезке и по на любом конечном интервале в Для и некоторого функции заданы и интегрируемы по на любом конечном интервале в .

B. Условия А выполнены. Кроме того, функции ограничены для и принадлежащих любому конечному интервалу в Функции также ограничены для принадлежащих любому конечному интервалу в .

C. Условия А выполнены. Кроме того, функции имеют ограниченную вариацию по для равномерно по , принадлещим любому конечному интервалу в .

D. Условия А выполнены. Кроме того, функции непрерывны по для равномерно по принадлежащим любому конечному интервалу в .

E. Функции заданы и интегрируемы по для и по на любом конечном интервале в Для и некоторого функции заданы и интегрируемы по на любом конечном интервале в Кроме того, функции аналитичны по для

Условия относятся к уравнению (2). В них некоторое данное действительное число, а такое число, что .

F. Функции заданы и интегрируемы на полуинтервале Для заданы значения .

G. Условия рыполнены. Кроме того, функции ограничены на .

H. Условия выполнены. Кроме того, функции имеют ограниченную вариацию по х на ;.

I. Условия F выполнены. Кроме того, функции непрерывны на

J. Функции заданы и аналитичны в прямоугольнике где у — положительная постоянная.