§ 7. Решение в виде ряда в случае, когда имеется пятикратный корень характеристического уравнения. Случай максимального затухания
Если
то 
будет пятикратным корнем. В этом частном случае корни характеристического уравнения упрощаются и все имеют действительные части, равные —3. В самом деле,
где 
последовательные ненулевые корни уравнения
Чтобы доказать это, запишем уравнение (5.3) в виде
Полагая 
и отделяя действительную и мнимую части, получаем
Применяя принцип аргумента (теорема 3.3) к очень длинному прямоугольнику, вписанному между прямыми 
можно показать, что единственным корнем, лежащим между этими прямыми, является пятикратный корень 
Поэтому если 
в уравнениях (5.32) и (5.33), то отсюда следует, что 
Теперь пусть 
Тогда 
Разделив (5.32) на (5.33), получим после перестановки
Поэтому
Правая часть этого уравнения неотрицательна и меньше 12. Поэтому 
Как отмечено в последнем абзаце, единственным корнем, удовлетворяющим этому условию, является пятикратный корень, для которого 
что невозможно. Следовательно, 
Тогда уравнение (5.32) удовлетворяется, а уравнение (5.33) удовлетворяется в предположении, что у есть корень уравнения (5.31). Асимптотической формулой для корней уравнения (5.31) будет
Это согласуется с (5.18). Подсчет методом последовательных приближений, выполненный непосредственно по уравнению (5.31), дает
Следующие корни вычислены по уравнению (5.34):
Представление о точности формулы (5.34) можно получить, сравнивая значения 
полученные разными способами.
Используя введенные на стр. 105 коэффициенты 
и замечая, что для пятикратного корня 
при 
получаем
(см. скан)
(см. скан)
Этот случай представляет особый интерес, так как пятикратный корень характеристического уравнения имеет максимальную возможную кратность, и поэтому, согласно § 10 гл. III, когда а, b, с и d принимают значения, указанные в (5.29), решение [т. е. (5.37) и (5.38)] уравнения (5.1) имеет максимальное возможное затухание.
