§ 7. Решение в виде ряда в случае, когда имеется пятикратный корень характеристического уравнения. Случай максимального затухания

Если

то будет пятикратным корнем. В этом частном случае корни характеристического уравнения упрощаются и все имеют действительные части, равные —3. В самом деле,

где последовательные ненулевые корни уравнения

Чтобы доказать это, запишем уравнение (5.3) в виде

Полагая и отделяя действительную и мнимую части, получаем

Применяя принцип аргумента (теорема 3.3) к очень длинному прямоугольнику, вписанному между прямыми можно показать, что единственным корнем, лежащим между этими прямыми, является пятикратный корень Поэтому если в уравнениях (5.32) и (5.33), то отсюда следует, что

Теперь пусть Тогда Разделив (5.32) на (5.33), получим после перестановки

Поэтому

Правая часть этого уравнения неотрицательна и меньше 12. Поэтому Как отмечено в последнем абзаце, единственным корнем, удовлетворяющим этому условию, является пятикратный корень, для которого что невозможно. Следовательно, Тогда уравнение (5.32) удовлетворяется, а уравнение (5.33) удовлетворяется в предположении, что у есть корень уравнения (5.31). Асимптотической формулой для корней уравнения (5.31) будет

Это согласуется с (5.18). Подсчет методом последовательных приближений, выполненный непосредственно по уравнению (5.31), дает

Следующие корни вычислены по уравнению (5.34):

Представление о точности формулы (5.34) можно получить, сравнивая значения полученные разными способами.

Используя введенные на стр. 105 коэффициенты и замечая, что для пятикратного корня при получаем

(см. скан)

(см. скан)

Этот случай представляет особый интерес, так как пятикратный корень характеристического уравнения имеет максимальную возможную кратность, и поэтому, согласно § 10 гл. III, когда а, b, с и d принимают значения, указанные в (5.29), решение [т. е. (5.37) и (5.38)] уравнения (5.1) имеет максимальное возможное затухание.