§ 5. Критический случай

Теперь предположим, что точка в пространстве параметров близка к критической точке В этом случае для исследования решения уравнения (11.1) с помощью характеристического уравнения

можно использовать метод § 8 гл. IX. Характеристическое уравнение имеет двойные корни причем Возьмем множество описанное в § 3, состоящим из этих двух корней.

Уравнение (11.1) можно отождествить с уравнением (9.43), а характеристическое уравнение уравнением (9.46). Тогда в будет иметь вид (11.25), а

По (9.18)

Так как то левая часть (9.51) примет вид

где

Следовательно, по (9.51),

Следовательно, в силу (9.53) и (11.26),

где

Согласно (9.31), уравнения усреднений имеют вид

Теперь положим

Тогда

5a. Устойчивость тривиального решения. Уравнения (11.32) удовлетворяются тривиальным решением, соответствующим значениям Чтобы исследовать устойчивость этого решения, мы рассмотрим поведение решений системы (11.32) с отброшенными кубическими членами. Полученные линейные уравнения могут быть решены подстановкой решений показательного типа, содержащих множитель вида Это приводит к четырем однородным алгебраическим уравнениям относительно неизвестных

Исключая получаем для уравнение четвертой степени, которое распадается на два квадратных уравнения вида

Четыре корня этих уравнений выражаются формулами

Пренебрегая членами, содержащими малые величины в степени 3/2, получаем из этих выражений

Для того чтобы все четыре корня имели отрицательные действительные части, должны выполняться следующие условия (в пределах точности нашей аппроксимации):

Последнее ограничение является очень сильным и показывает, что тривиальное решение неустойчиво всюду, за исключением малой области изменения параметров.

5b. Гармонические решения. Для того чтобы исследовать гармонические решения уравнений (11.32), положим

где постоянные. Тогда, согласно (11.32),

Исключим

Умножив на получим

Отделим действительную и мнимую части:

где

Кубическое уравнение (1.38) имеет три корня. Коэффициент при имеет порядок а коэффициенты в двух последних членах малы. Это означает, что корни могут быть выражены приближенно в удобной форме. После этого можно вычислить из (11.39) значение комплексно сопряженные числа. При желании их можно сделать действительными (и, следовательно, равными), выбирая подходящий начальный момент времени. После этого они определяются из из (11.36).

5с. Устойчивость гармонических решений. Прежде чем более детально исследовать гармонические решения мы изложим теорию их устойчивости. В соответствии с замечанием в конце предыдущего пункта мы будем предполагать, что и положим

где и о неизвестны. Подставляя эти выражения в уравнение (11.32), упрощая его и отбрасывая степени выше первой, получаем

Исключим из этих уравнений:

Следовательно,

где

Перемножая отдельно левые части уравнений (11.42) и правые их части, получаем уравнение четвертой степени

где

Критерий Гурвица отрицательности действительных частей всех корней (Бейтмен [5], стр 612) приводит к условиям

5d. Случай, когда имеют порядок В этом случае, согласно (11.38),

Сначала рассмотрим корни и По (11.44), По (11.46), Следовательно, если пренебречь членами высшего порядка, то условия (11.47) примут вид

Эти неравенства противоречивы. Поэтому колебания, соответствующие корням неустойчивы всюду, кроме, быть может, очень малой области пространства параметров, в которой нельзя пренебрегать членами высшего порядка.

Рассмотрим корень По (11.44), По (11.46), Если пренебречь членами высшего порядка, то условия (11.47) примут вид

Эти неравенства противоречивы.

Из этого следует, что нужно еще больше ограничить область значений для того чтобы обеспечить существование и устойчивость гармонических колебаний. Пример такого типа рассматривается в п. 5е.

5е. Случай, когда и и имеют порядок В этом случае, согласно (11.38),

Для того чтобы эти выражения были действительны, необходимо

Сначала рассмотрим корень Для него, в силу (11.39) и (11.43). Следовательно, по (11.44), так что, согласно (11.46), и условия (11.47) нарушены. Поэтому колебания, соответствующие корню неустойчивы.

Колебания, соответствующие корням и можно изучать одновременно, опуская индексы, так как эти корни имеют величину одного порядка, В силу (11.39) и (11.43), Далее, в силу (11.44),

Согласно (11.46),

По первому неравенству (11.47),

По третьему неравенству (11.47),

Сокращая и изменяя порядок членов, получаем

Подставив значение в (11.51), после упрощения получим

Так как

Согласно (11.51),

При верхнем знаке это неравенство противоречиво, так что колебания, соответствующие корню неустойчивы. Необходимое условие для устойчивости колебаний, соответствующих корню состоит в выполнении неравенства

Из второго неравенства (11.47) следует, что

8 силу (11.51), это эквивалентно тому, что

Для колебаний, соответствующих корню , нужно взять нижний знак. В силу (11.54), член в фигурных скобках положителен. Следовательно, Поэтому, согласно (11.50), (11.53) и (11.54), колебания, соответствующие корню устойчивы, если

Далее, так что, по (11.43), колебания, соответствующие корню будут устойчивы, когда четно. В этом случае, согласно (11.43),

В силу (11.36),

В силу (11.31) и (11.34),

В рассматриваемых колебаниях, согласно (11.45), в формуле По (9.60), (11.56) и (11.58), Условия (9.61) удовлетворяются. По (9.41),

если условия (11.55) выполнены.

5f. Негармоническое поведение. Если условия (11.33) выполнены, то тривиальное решение устойчиво, и не может быть никаких колебаний, по крайней мере с малой амплитудой. Это происходит на "устойчивой" стороне поверхности в пространстве параметров. Если же выполнены условия (11.55), то имеют место гармонические колебания (11.59). Это происходит на "неустойчивой" стороне поверхности Е.

Условия (11.33) и (11.55) очень ограничительны, и значительная часть окрестностей точек в пространстве параметров остается неисследованной. Очевидно, можно ожидать появления более сложных решений для этих значений параметров. Для изучения этой области потребовалось бы более точное решение системы (11.32), но оно пока еще не получено. Система (11.32) является нелинейной системой четырех уравнений с четырьмя неизвестными, и ее исследование слишком длинно, чтобы его можно было поместить здесь.