Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 5. Критический случайТеперь предположим, что точка
можно использовать метод § 8 гл. IX. Характеристическое уравнение имеет двойные корни Уравнение (11.1) можно отождествить с уравнением (9.43), а характеристическое уравнение
По (9.18)
Так как
где
Следовательно, по (9.51),
Следовательно, в силу (9.53) и (11.26),
где
Согласно (9.31), уравнения усреднений имеют вид
Теперь положим
Тогда
5a. Устойчивость тривиального решения. Уравнения (11.32) удовлетворяются тривиальным решением, соответствующим значениям Исключая
Четыре корня этих уравнений выражаются формулами
Пренебрегая членами, содержащими малые величины
Для того чтобы все четыре корня имели отрицательные действительные части, должны выполняться следующие условия (в пределах точности нашей аппроксимации):
Последнее ограничение является очень сильным и показывает, что тривиальное решение неустойчиво всюду, за исключением малой области изменения параметров. 5b. Гармонические решения. Для того чтобы исследовать гармонические решения уравнений (11.32), положим
где
Исключим
Умножив на
Отделим действительную и мнимую части:
где
Кубическое уравнение (1.38) имеет три корня. Коэффициент при 5с. Устойчивость гармонических решений. Прежде чем более детально исследовать гармонические решения
где
Исключим
Следовательно,
где
Перемножая отдельно левые части уравнений (11.42) и правые их части, получаем уравнение четвертой степени
где
Критерий Гурвица отрицательности действительных частей всех корней (Бейтмен [5], стр 612) приводит к условиям
5d. Случай, когда
Сначала рассмотрим корни и
Эти неравенства противоречивы. Поэтому колебания, соответствующие корням Рассмотрим корень
Эти неравенства противоречивы. Из этого следует, что нужно еще больше ограничить область значений 5е. Случай, когда и и
Для того чтобы эти выражения были действительны, необходимо
Сначала рассмотрим корень Колебания, соответствующие корням и
Согласно (11.46),
По первому неравенству (11.47),
По третьему неравенству (11.47),
Сокращая и изменяя порядок членов, получаем
Подставив значение
Так как
Согласно (11.51),
При верхнем знаке это неравенство противоречиво, так что колебания, соответствующие корню неустойчивы. Необходимое условие для устойчивости колебаний, соответствующих корню
Из второго неравенства (11.47) следует, что
8 силу (11.51), это эквивалентно тому, что
Для колебаний, соответствующих корню
Далее,
В силу (11.36),
В силу (11.31) и (11.34),
В рассматриваемых колебаниях, согласно (11.45), в формуле
если условия (11.55) выполнены. 5f. Негармоническое поведение. Если условия (11.33) выполнены, то тривиальное решение устойчиво, и не может быть никаких колебаний, по крайней мере с малой амплитудой. Это происходит на "устойчивой" стороне поверхности Условия (11.33) и (11.55) очень ограничительны, и значительная часть окрестностей точек
|
1 |
Оглавление
|